Resolva a EDO não linear usando o método da separação de variáveis:
y(\ln x) \frac{d y}{d x}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}}
\int u d v=u v-\int v d u
x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} ; y(1)=2

Passo 1

O enunciado reduz-se à equação diferencial
x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3},
com condição inicial y(1)=2.
Trata-se de uma EDO homogênea, pois
\frac{dy}{dx} =\frac{y^{3}-x^{3}}{x\,y^{2}} =\frac{y}{x}-\frac{x^{2}}{y^{2}}
é função de y/x. Vamos usar a substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Defina
z=\frac{y}{x},
então
y=x\,z \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} =z + x\,\frac{dz}{dx}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{y^{3}-x^{3}}{x\,y^{2}}, obtemos
z + x\,\frac{dz}{dx} =\frac{(x\,z)^{3}-x^{3}}{x\,(x\,z)^{2}} =\frac{x^{3}(z^{3}-1)}{x^{3}z^{2}} =\frac{z^{3}-1}{z^{2}}.
Isolando dz/dx
x\,\frac{dz}{dx} =\frac{z^{3}-1}{z^{2}}-z =\frac{z^{3}-1 - z^{3}}{z^{2}} =\frac{-1}{z^{2}} \;-\; \frac{\,z^{3}-z^{3}\,}{z^{2}} \;\text{(corrigindo cálculo)}.á
Na verdade,
\frac{z^{3}-1}{z^{2}}-z =\frac{z^{3}-1 - z^{3}}{z^{2}} =\frac{-1}{z^{2}},
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x\,\frac{dz}{dx} =-\frac{1}{z^{2}}.

Passo 4

Agora separam-se as variáveis:
z^{2}\,dz =-\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int z^{2}\,dz =-\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{3}}{3} =-\ln\bigl|x\bigr|+C.
Multiplicando por 3 e exponenciando,
z^{3}=-3\ln|x|+C' \quad\Longrightarrow\quad \ln|x|=-\tfrac{1}{3}z^{3}+C'',
mas é mais direto reescrever
\frac{z^{3}}{3}+\ln|x|=C.

Passo 6

Voltemos a y. Temos
\frac{1}{3}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3}+\ln x=C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} =3C -3\ln x.
Aplicando a condição y(1)=2
\Bigl(\tfrac{2}{1}\Bigr)^{3}=8 =3C-3\ln1=3C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{8}{3}.
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\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} =8-3\ln x \quad\Longrightarrow\quad y=x\bigl(8-3\ln x\bigr)^{1/3}.

Resposta

\boxed{y(x)=x\bigl(8-3\ln x\bigr)^{\tfrac{1}{3}},\quad y(1)=2.}

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