Verifique se a EDO linear é exata. Caso seja, resolva -a.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2} .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x \frac{dy}{dx} = 2x e^x - y + 6x^2.
Queremos verificar se ela é exata. Para isso, escrevemos na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Isolando tudo para zero, fica
x\frac{dy}{dx} - 2x e^x + y - 6x^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (-2x e^x -6x^2 + y)\,dx + x\,dy = 0.
Logo definimos
M(x,y) = -2x e^x -6x^2 + y, \quad N(x,y) = x.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, isto é, se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int\bigl(-2x e^x -6x^2 + y\bigr)\,dx.
Fazendo termo a termo:
\int -2x e^x\,dx = -2x e^x +2e^x, \quad \int -6x^2\,dx = -2x^3, \quad \int y\,dx = x\,y.
Logo
\varphi(x,y) = -2x e^x +2e^x -2x^3 + x\,y + h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.

Passo 4

Impondo \partial\varphi/\partial y = N(x,y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x + h'(y) \overset{!}{=} x.
Daí segue h'(y)=0, logo h(y) é constante. Podemos absorver essa constante em C.

Passo 5

A solução implícita geral vem de
\varphi(x,y) = C,
ou seja,
-2x e^x +2e^x -2x^3 + x\,y = C.
Opcionalmente, isolamos y:
y = \frac{C +2x e^x -2e^x +2x^3}{x}.

Resposta

\boxed{-2x e^x +2e^x -2x^3 + x\,y = C,}
ou equivalentemente
\boxed{y = \frac{C +2x e^x -2e^x +2x^3}{x}.}

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