Questão 7

Ainda não respondida
Vale 1,80 ponto(s).
Considere a integral \int \frac{1}{4^{2}+(x-4)^{2}} d x. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
\int \frac{1}{4^{2}+(x-4)^{2}} d x=\frac{1}{\alpha} \arctan \left(\frac{x-\beta}{\gamma}\right)+C
, one C é uma constante de integração, para escolhas adequadas das constantes \alpha, \beta e \gamma.
Parte 1) [40 % dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes : \alpha= \square , \beta= \square e \gamma=
\square .
Parte 2) [30% dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
v(t)=\frac{1}{4^{2}+(t-4)^{2}}
Determine a distância D percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 4 \leq t \leq 8.
A distância D percorrida é dada por \square .
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância D_{\infty} percorrida pela partícula para t \geq 4, isto é, para 4 \leq t<\infty.
Neste caso, a distância percorrida D_{\infty} é dada por
\square -
Dica (Parte 3): integrais impróprias \qquad se \int f(x) d x=F(x)+C assumindo f(x) contínua para x \geq a então
\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}[F(b)-F(a

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\frac{1}{4^{2}+(x-4)^{2}}
usando substituição trigonométrica, e depois o valor dessa integral no intervalo 4\le t\le8 e no intervalo impróprio 4\le t<\infty. O conteúdo é reconhecimento da forma padrão
\int\frac{1}{a^{2}+u^{2}}\,du=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)+C
e aplicação a integrais definidas.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x-4,
logo du=dx. Então a integral fica
\int \frac{1}{4^{2}+(x-4)^{2}}\,dx =\int\frac{1}{4^{2}+u^{2}}\,du.
Para ver isso com substituição trigonométrica, podemos ainda pôr
u = 4\tan\theta, \quad du = 4\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta,
então
4^{2}+u^{2}=16+16\tan^2\theta=16\operatorname{sec}^2\theta
e
\int\frac{1}{16\operatorname{sec}^2\theta}\,4\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =\int\frac{4}{16}\,d\theta =\frac{1}{4}\,\theta + C.
Voltando a u, temos \theta=\arctan(u/4).

Passo 3

Assim a antiderivada é
\int \frac{1}{4^{2}+(x-4)^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-4}{4}\bigr)+C.
Comparando com
\frac{1}{\alpha}\arctan\!\bigl(\tfrac{x-\beta}{\gamma}\bigr)+C
vemos que \alpha=4, \beta=4 e \gamma=4.

Passo 4

Para a Parte 2, a distância
D=\int_{4}^{8}v(t)\,dt =\int_{4}^{8}\frac{1}{4^{2}+(t-4)^{2}}\,dt
é dada por
\Bigl[\tfrac{1}{4}\arctan\!\bigl(\tfrac{t-4}{4}\bigr)\Bigr]_{4}^{8} =\frac{1}{4}\bigl(\arctan(1)-\arctan(0)\bigr) =\frac{1}{4}\,\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{16}.

Passo 5

Para a Parte 3,
D_{\infty}=\int_{4}^{\infty}\frac{1}{4^{2}+(t-4)^{2}}\,dt =\lim_{b\to\infty}\Bigl[\tfrac{1}{4}\arctan\!\bigl(\tfrac{t-4}{4}\bigr)\Bigr]_{4}^{b} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) =\frac{\pi}{8}.

Resposta

\alpha= 4 \beta= 4 \gamma= 4
Distância D = \dfrac{\pi}{16}
Distância D_{\infty} = \dfrac{\pi}{8}

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