Questão 7
Ainda não respondida
Vale 1,80 ponto(s).
Considere a integral
. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
, one
é uma constante de integração, para escolhas adequadas das constantes
e
.
Parte 1) [40 % dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes :
,
e
.
Parte 2) [30% dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
Determine a distância
percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
.
A distância
percorrida é dada por
.
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância
percorrida pela partícula para
, isto é, para
.
Neste caso, a distância percorrida
é dada por
-
Dica (Parte 3): integrais impróprias
se
assumindo
contínua para
então
Vale 1,80 ponto(s).
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes :
Neste caso, a distância percorrida
Passo 1
O enunciado pede a primitiva da função
usando substituição trigonométrica, e depois o valor dessa integral no intervalo
e no intervalo impróprio
. O conteúdo é reconhecimento da forma padrão
e aplicação a integrais definidas.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
logo
. Então a integral fica
Para ver isso com substituição trigonométrica, podemos ainda pôr
então
e
Voltando a
, temos
.
Passo 3
Assim a antiderivada é
Comparando com
vemos que
,
e
.
Passo 4
Para a Parte 2, a distância
é dada por
Passo 5
Para a Parte 3,
Resposta
Distância
Distância