Resolva o PVI usando a transformada de Laplace e expressando a resposta como um produto de convolução:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, usando transformada de Laplace e expressando a solução como convolução com a entrada g(t). Vamos precisar conhecer propriedades da transformada de Laplace (especialmente de derivadas) e a transformada de funções exponenciais moduladas por senos.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
e usando
,
, obtemos:
Aqui usamos que
e
.
Passo 3
Fatorando
, temos
Logo
Podemos interpretar
como a função de transferência do sistema.
Passo 4
Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
Então
Sabemos que
. Logo
Portanto a resposta ao impulso é
Passo 5
Pela propriedade de convolução da transformada de Laplace, a solução é
Substituindo
fica a forma final em convolução.