Resolva o PVI usando a transformada de Laplace e expressando a resposta como um produto de convolução:
4 y^prime prime+4 y^prime+17 y=g(t), y^prime(0)=0, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais nulas, usando transformada de Laplace e expressando a solução como convolução com a entrada g(t). Vamos precisar conhecer propriedades da transformada de Laplace (especialmente de derivadas) e a transformada de funções exponenciais moduladas por senos.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de 4y''+4y'+17y=g(t) e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos:
4s^2Y(s) + 4sY(s) + 17Y(s) = G(s)
Aqui usamos que Ly'(t)=sY(s)-y(0) e Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).

Passo 3

Fatorando Y(s), temos
Y(s) l(4s^2+4s+17r) = G(s)
Logo
Y(s)=G(s)4s^2+4s+17
Podemos interpretar H(s)=1/(4s^2+4s+17) como a função de transferência do sistema.

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
4s^2+4s+17 = 4l[(s+tfrac12)^2 + 4r]
Então
H(s)=14cdot1(s+tfrac12)^2+2^2
Sabemos que Le^-t/2sin(2t)=2(s+1/2)^2+2^2. Logo
H(s)=14cdot12cdot2(s+1/2)^2+2^2=18,2(s+1/2)^2+2^2
Portanto a resposta ao impulso é
h(t)=18e^-t/2sin(2t)

Passo 5

Pela propriedade de convolução da transformada de Laplace, a solução é
y(t)=h(t)*g(t)=integral0^th(t-tau),g(tau),dtau
Substituindo h(t-tau)=tfrac18e^-(t-tau)/2sinl(2(t-tau)r) fica a forma final em convolução.

Resposta

y(t)=integral0^t18e^-(t-tau)/2sinl(2(t-tau)r),g(tau),dtau

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