1^ a ) Resolva o PVI usando transformada de Laplace e a função degrau unitário.
y^prime prime+4 y=g(t) ; y(0)=0 ; y^prime(0)=0
( Valor =2,5)
sendo
c g(t)=r 0 ; 0 <= t<pi (t^2+1) ; pi <= t<3 pi 0 ; t >= 3 pi
L^-1[4[((s-3)^2+25)]^2+arccotg(5s)-raiz7[(s+7)]^4]

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y''+4y = g(t), y(0)=0,;y'(0)=0
usando transformada de Laplace e função degrau unitário. Aqui o conteúdo principal é a segunda transformação de deslocamento em Laplace (teorema do degrau) para lidar com a função forçada g(t) em trechos distintos.

Passo 2

Escrevemos
temos
Para aplicar o teorema do deslocamento, reparametrizamos cada termo como (f(t-a),u(t-a)]. Note que

Passo 3

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''+4y = g(t)
Como y(0)=y'(0)=0,
Ly''(s)+4 Ly(s) =(s^2+4)Y(s),
e
Lg(s) = Ll(t^2+1)u(t-pi)r - Ll(t^2+1)u(t-3pi)r
Pelo teorema do deslocamento,
L(t^2+1)u(t-a) =e^-as, L(t+a)^2+1(s)
E
L(t+a)^2+1 =2s^3+2as^2+a^2+1s
Logo
G(s)=e^-pi sl(tfrac2s^3+tfrac2pis^2+tfracpi^2+1sr) -e^-3pi sl(tfrac2s^3+tfrac6pis^2+tfrac9pi^2+1sr)

Passo 4

Da equação transformada (s^2+4)Y(s)=G(s), isolamos
Y(s)=G(s)s^2+4 =e^-pi s,A(s)s^2+4 ;-;e^-3pi s,B(s)s^2+4,
onde
A(s)=2s^3+2pis^2+pi^2+1s, B(s)=2s^3+6pis^2+9pi^2+1s

Passo 5

Usamos novamente o teorema do deslocamento inverso:
L^-1e^-asF(s)(t)=f(t-a),u(t-a),
onde f= L^-1F. Assim escrevemos
y(t) = u(t-pi),al(t-pir) - u(t-3pi),bl(t-3pir),
com
a(tau)= L^-1lA(s)s^2+4r(tau), b(tau)= L^-1lB(s)s^2+4r(tau)

Passo 6

Para cada termo do tipo dfrac1s^n(s^2+4) usamos a convolução:
L^-1l1s^n(s^2+4)r(t) =integral0^t L^-1tfrac1s^n(u) ; L^-1tfrac1s^2+4(t-u),du
Em particular,
L^-11/s^3(t)=t^2/2
e
L^-11/(s^2+4)(t)=tfrac12sin(2t)
Fazendo isso para cada soma de termos em A(s) e B(s), obtemos integrais de convolução explícitas.

Passo 7

O resultado final em termos de convoluções é
y(t) = u(t-pi)integral0^,t-pi!l[(tau+pi)^2+1r]sinl(2((t-pi)-tau)r)2,dtau ;-; u(t-3pi)integral0^,t-3pi!l[(tau+3pi)^2+1r]sinl(2((t-3pi)-tau)r)2,dtau

Resposta

boxed y(t) = u(t-pi)integral0^,t-pil[(tau+pi)^2+1r]sin!l(2((t-pi)-tau)r)2,dtau ;-; u(t-3pi)integral0^,t-3pil[(tau+3pi)^2+1r]sin!l(2((t-3pi)-tau)r)2,dtau

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