Resolva o seguinte PVI
d P(t)d t & =P(t)(1-2 P(t))+0.01 P(0) & =10

Passo 1

O problema é um PVI para a função P=P(t), dada por
dPdt=P,(1-2P)+0.01, P(0)=10
O tipo de equação é uma Riccati com coeficientes constantes, que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a EDO de forma separável:
dPdt = -2P^2 + P + 0.01 Longrightarrow dP-2P^2 + P + 0.01 = dt

Passo 3

Fatoramos o denominador completando o quadrado. Note que
-2P^2 + P + 0.01 = -2l(P^2 - tfrac12P - 0.005r) = -2l[(P-tfrac14)^2 - 0.0675r]
Como 0.0675=tfrac27400, definimos
a = raiz0.0675 = 3raiz320
Então
dP-2P^2 + P + 0.01 = -tfrac12, dP(P-tfrac14)^2 - a^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
-,tfrac12 integraldP(P-tfrac14)^2 - a^2 = integral dt Longrightarrow -,14a, ln!gl|(P-tfrac14)-a(P-tfrac14)+agr| = t + C

Passo 5

Exponenciando, obtemos a forma implícita
(P-tfrac14)-a(P-tfrac14)+a = K,e^4a t,
onde K=e^ -4aC é constante de integração a determinar.

Passo 6

Usamos a condição inicial P(0)=10. Em t=0 a relação fica
K = (10-tfrac14)-a(10-tfrac14)+a = tfrac394 - atfrac394 + a

Passo 7

Resolvendo para P em função de t, com R(t)=K,e^4a t, temos
P(t) = tfrac14 + a,1+R(t)1-R(t) = 14 + 3raiz320, 1 + l(tfrac394-atfrac394+ar)e^4a t 1 - l(tfrac394-atfrac394+ar)e^4a t

Resposta

boxed% P(t) = 14 + 3raiz320, 1 + tfrac394-tfrac3raiz320tfrac394+tfrac3raiz320,e^3raiz35,t 1 - tfrac394-tfrac3raiz320tfrac394+tfrac3raiz320,e^3raiz35,t

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