O que significa dizer que
é diferenciável em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre o que significa dizer que uma função $ f $ é diferenciável no intervalo
. Estamos falando de cálculo, especificamente de derivadas e da ideia de diferenciabilidade. Para entender isso, vamos precisar saber o que é derivada e como ela está relacionada à suavidade da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação dessa função naquele ponto. Em outras palavras, ela nos diz quão inclinada está a curva da função naquele ponto específico. Se a função tem uma derivada em um ponto, dizemos que ela é “suave” ali, sem cantos ou quebras.
Passo 3
Agora, para dizer que $ f $ é diferenciável em todo o intervalo
, precisamos que $ f $ seja diferenciável em cada ponto dentro desse intervalo. Isso significa que, para qualquer número $ x $ entre $ a $ e $ b $, a derivada $ f’(x) $ existe.
Passo 4
Formalmente, dizer que $ f $ é diferenciável em
significa que para todo $ x $ no intervalo
, o limite
existe. Esse limite representa a inclinação da tangente à curva da função em cada ponto $ x $.
Passo 5
Além disso, se $ f $ é diferenciável em
, ela também é contínua nesse intervalo. Isso porque a existência da derivada implica a continuidade da função.
Resposta
Dizer que $ f $ é diferenciável em
significa que, para todo ponto $ x $ dentro desse intervalo, a derivada $ f’(x) $ existe. Isso implica que a função é suave e contínua em
, sem quebras ou cantos, permitindo calcular a taxa de variação em cada ponto do intervalo.