O que o Teorema de Clairaut diz?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você perguntou sobre o Teorema de Clairaut. Esse teorema faz parte do cálculo, mais especificamente do estudo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para entender e explicar esse teorema, vamos precisar saber o que são derivadas parciais e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Em funções que dependem de mais de uma variável, como $ f(x, y) $, as derivadas parciais são as derivadas em relação a cada uma das variáveis, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é $ \frac{\partial f}{\partial x} $, e em relação a $ y $ é $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

Passo 3

Agora, o Teorema de Clairaut trata das derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, das derivadas das derivadas parciais. Especificamente, ele fala sobre a igualdade das derivadas mistas, que são as derivadas que tomam uma variável e depois a outra. Por exemplo, $ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $ significa que primeiro derivamos em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 4

O Teorema de Clairaut diz que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas em uma região ao redor de um ponto, então as derivadas mistas são iguais nesse ponto. Em outras palavras:
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x

Passo 5

Isso é super útil porque nos permite calcular a derivada de uma maneira mais conveniente sem nos preocuparmos com a ordem das variáveis. Mas é importante lembrar que a condição de continuidade das derivadas de segunda ordem é essencial para que o teorema seja válido.

Resposta

O Teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função são contínuas, então as derivadas mistas são iguais. Ou seja,
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x

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