Resolva o PVI:
x^prime+(10-6) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

Temos o PVI x'+(10-6)x=2e^4t com condição inicial x(0)=0. Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

O coeficiente de x na equação é 10-6=4. Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral 4,dt=e^4t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^4t, obtendo
e^4tx'+4e^4tx=2e^8t
Note que o lado esquerdo é a derivada de e^4tx:
ddtl(e^4txr)=2e^8t

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^4tx=integral 2e^8t,dt=14e^8t+C
Isolando x(t) temos
x(t)=e^-4tl(tfrac14e^8t+Cr)=tfrac14e^4t+Ce^-4t

Passo 5

Aplicamos a condição inicial x(0)=0:
0=tfrac14+CRightarrow C=-tfrac14

Resposta

x(t)=\tfrac{1}{4}e{4t}-\tfrac{1}{4}e{-4t}=\tfrac{1}{2}\sinh(4t).

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