Resolva o PVI:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=16+1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y' + y^2 ,sin t = 0, com y(0) = tfrac16+1 = tfrac17. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem separável; vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma dydt = -y^2 ,sin t e separamos as variáveis:
dyy^2 = -sin t , dt

Passo 3

Integrando ambos os lados. À esquerda:
integral dyy^2 = -1y,
e à direita:
-integral sin t , dt = cos t
Juntando:
-1y = cos t + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0) = tfrac17. Em t=0 temos
-1tfrac17 = -7 = cos 0 + C = 1 + C,
logo C = -8.

Passo 5

Substituindo C de volta e resolvendo para y:
-1y = cos t - 8 Longrightarrow 1y = 8 - cos t Longrightarrow y(t) = 18 - cos t

Resposta

y(t) = 18 - cos t.

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