Nos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
Dado que x, x^2 e 1 / x são soluções da equação homogênea associada a
x^3 y^prime prime prime+x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=2 x^4, x>0
determine uma solução particular.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular da equação não homogênea de tipo Euler-Cauchy
Conteúdo: equação de Euler e método dos coeficientes indeterminados para termos tipo x^r.

Passo 2

Como a parte homogênea já tem soluções x, x^2 e x^{−1}, o expoente r=4 (presente em 2x^4) não é raiz da equação indicial. Então a gente supõe uma solução particular da forma
yp=A x^4

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y_p:
yp = A x^4, yp'=4A x^3, yp''=12A x^2, yp'''=24A x

Passo 4

Substituindo na equação
x^3 yp'''+x^2 yp''-2x yp'+2yp
ficamos com
x^3cdot(24A x)+x^2cdot(12A x^2)-2xcdot(4A x^3)+2cdot(A x^4)=30A x^4
e isso deve igualar 2x^4, logo 30A x4=2x4.

Passo 5

Da igualdade 30A x4=2x4 concluímos que A=2/30=1/15, portanto y_p(x)=\frac{1}{15}x^4.

Resposta

yp(x)=115x^4

Exercícios relacionados