Resolva o PVI:
x^prime+(10-0) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver um PVI de uma EDO linear de primeira ordem:
Temos
x'(t) + 10,x(t) = 2e^4t, x(0)=0
O conteúdo aqui é “equação linear de 1ª ordem” e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Para uma equação do tipo x' + p(t)x = q(t), o fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt
No nosso caso p(t)=10, logo
mu(t) = e^integral 10,dt = e^10t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(t)=e^10t. Assim o lado esquerdo vira derivada de produto:
ddtl(e^10txr) = e^10tx' + 10e^10tx,
e o lado direito fica
2e^4t,e^10t = 2e^14t
Portanto
ddtl(e^10txr) = 2e^14t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^10tx = integral 2e^14t,dt = 214e^14t + C = 17e^14t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando x, obtemos
x(t) = 17e^14te^-10t + Ce^-10t = 17e^4t + Ce^-10t

Passo 6

Para achar C, usamos a condição inicial x(0)=0:
0 = 17e^0 + C e^0 = 17 + C
Logo
C = -17

Resposta

A solução do PVI é
x(t) = 17l(e^4t - e^-10tr)

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