Resolva o PVI:
y^prime=(0+1)-y, y(0)=0+2

Passo 1

Estamos resolvendo um Problema de Valor Inicial (PVI) de uma equação diferencial de primeira ordem linear: dado y' = (0+1) - y com condição inicial y(0) = 0+2. Vamos usar o método do fator integrante para obter a solução.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão de uma EDO linear: y' + y = 1. Aqui identificamos p(t)=1 e g(t)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 1,dt = e^t.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(t) e notamos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
e^ty' + e^ty = ddtl(e^tyr)
Então temos
ddtl(e^tyr) = e^t
Integrando em relação a t:
e^ty = integral e^t,dt = e^t + C
Portanto a solução geral é
y(t) = 1 + C e^-t.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = y(0) = 1 + C e^0 = 1 + C
Logo C = 1. A solução particular do PVI é
y(t) = 1 + e^-t.

Resposta

y(t) = 1 + e^-t

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