Resolva o PVI:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=10+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'+y^2sin t=0,;y(0)=1. Isso cai no conteúdo de EDOs separáveis, onde podemos agrupar tudo que envolve y de um lado e t do outro para integrar.

Passo 2

Primeiro reescrevo y' como dydt, obtendo
dydt=-y^2sin t
Agora separo as variáveis: tudo que tem y para o lado de dy e tudo que tem t para o lado de dt:
dyy^2=-sin t,dt

Passo 3

Em EDOs separáveis, integramos cada lado em relação à sua variável. Assim,
integral y^-2,dy = integral -sin t,dt
Calculando as integrais:
integral y^-2,dy = -1y,
integral -sin t,dt = cos t
Logo ficamos com
-1y=cos t + C

Passo 4

Para isolar y, passo o sinal e reúno constantes definindo D=-C:
1y=-cos t + D
e assim
y=1D-cos t

Passo 5

Só falta usar a condição inicial y(0)=1. Como cos0=1, temos
1=1D-1 Rightarrow D-1=1 Rightarrow D=2
Substituindo em y=1/(D-cos t) chega-se à solução.

Resposta

y(t)=12-cos t

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