Encontre todas as soluções da EDO.
d x+\left(2 y+x e^{x y}\right) d y=0)
d x+\left(2 y+x e^{x y}\right) d y=0)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial de 1ª ordem
O que nos pede é: encontrar todas as soluções (ou seja, a família geral de integrais) dessa equação.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A parte multiplicando
é . - A parte multiplicando
é . - Queremos uma expressão implícita
que satisfaça a equação diferencial.
Passo 2
Vamos testar se a equação é exata. Uma equação
é exata se existe uma função
tal que
Um teste prático é verificar se as derivadas parciais satisfazem
Calculemos
e
.
Passo 3
Calcule
com
. Tratando
como constante:
Portanto
Passo 4
Calcule
com
. Tratando
como constante:
Portanto
Passo 5
Como encontramos
a equação é exata. Isso significa que existe
tal que
e
. Agora vamos construir
.
Passo 6
Encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Separe a integral:
e note que
, logo
Portanto, a antiderivada geral é
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque integramos em
).
Passo 7
Agora usamos a condição
para determinar
. Calcule
:
Igualando a
obtemos
Cancelando
dos dois lados sobra
Integramos em
:
onde
é constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita.
Passo 8
Substituindo
(até constante) em
obtemos a função potencial
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
onde
é constante arbitrária. Portanto a família de soluções é