Encontre todas as soluções da EDO.
\(1+y e^{x y} d x+\left(2 y+x e^{x y}\right) d y=0)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial de 1ª ordem
(1+y e^{x y})\,dx + (2y + x e^{x y})\,dy = 0.
O que nos pede é: encontrar todas as soluções (ou seja, a família geral de integrais) dessa equação.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A parte multiplicando dx é M(x,y)=1+y e^{x y}.
  • A parte multiplicando dy é N(x,y)=2y+x e^{x y}.
  • Queremos uma expressão implícita F(x,y)=C que satisfaça a equação diferencial.

Passo 2

Vamos testar se a equação é exata. Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial F}{\partial y}=N.
Um teste prático é verificar se as derivadas parciais satisfazem
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.

Passo 3

Calcule \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} com M(x,y)=1+y e^{x y}. Tratando x como constante:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(1\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{x y}\big) = 0 + \big(e^{x y} + y\cdot e^{x y}\cdot x\big).
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}= e^{x y} + x y e^{x y}.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} com N(x,y)=2y+x e^{x y}. Tratando y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2y\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{x y}\big) = 0 + \big(e^{x y} + x\cdot e^{x y}\cdot y\big).
Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}= e^{x y} + x y e^{x y}.

Passo 5

Como encontramos
\frac{\partial M}{\partial y}= e^{x y} + x y e^{x y}=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Isso significa que existe F(x,y) tal que \partial F/\partial x=M e \partial F/\partial y=N. Agora vamos construir F.

Passo 6

Encontrar F(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(1+y e^{x y}\big)\,dx.
Separe a integral:
\int 1\,dx = x,
e note que \displaystyle \frac{d}{dx}\big(e^{x y}\big)=y e^{x y}, logo
\int y e^{x y}\,dx = e^{x y}.
Portanto, a antiderivada geral é
F(x,y)=x + e^{x y} + H(y),
onde H(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque integramos em x).

Passo 7

Agora usamos a condição \partial F/\partial y = N para determinar H(y). Calcule \partial F/\partial y:
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y}\big) + H'(y) = 0 + x e^{x y} + H'(y).
Igualando a N(x,y)=2y + x e^{x y} obtemos
x e^{x y} + H'(y) = 2y + x e^{x y}.
Cancelando x e^{x y} dos dois lados sobra
H'(y)=2y.
Integramos em y:
H(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_0,
onde C_0 é constante. Podemos absorver C_0 na constante final da solução implícita.

Passo 8

Substituindo H(y)=y^2 (até constante) em F obtemos a função potencial
F(x,y)=x + e^{x y} + y^2.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
F(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Portanto a família de soluções é
x + e^{x y} + y^2 = C.

Resposta

x + e^{x y} + y^{2} = C

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