Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
com as condições iniciais
Informações dadas que vamos usar:
- A equação é linear, de quarta ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
. - Temos condições iniciais para
e suas derivadas até a terceira no ponto .
Passo 2
Encontrar a solução geral passa por achar a solução geral da equação homogênea associada e uma particular da equação completa.
Começo pela homogênea
Para equações lineares de coeficientes constantes, colocamos a equação característica trocando
por
:
Trate como quadrática em
:
, ou seja
Logo
é raiz dupla. Assim as raízes de
são
e
, cada uma com multiplicidade
.
Para raízes complexas conjugadas
(aqui
) com multiplicidade
, a parte real da solução geral tem termos do tipo
No nosso caso
, então a solução homogênea é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Explicação curta do porquê: raízes
simples gerariam
e
; como as raízes têm multiplicidade 2, surgem também os fatores lineares em
.)
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Observação importante (ressonância): o lado direito
é solução da equação homogênea associada ao operador
. Como nosso operador é
(pois
), existe ressonância de ordem
. Pela regra dos coeficientes a tentar, devemos multiplicar o habitual candidato
por
com
. Ou seja, tentamos
Vou mostrar uma maneira prática de obter
e
sem derivar até a quarta ordem explícita, usando o fato de que o operador fatoriza:
Se chamarmos
, então temos
Primeiro calculemos
. Com
já podemos calcular
de forma organizada.
Calculei antes (passo algébrico padrão; se quiser você pode repetir derivando term a term) que
Chame isto de
:
Agora aplicamos
em
. Como
e
são funções lineares, o cálculo simplifica e obtemos (feito passo a passo)
Mas o lado direito da equação original é
. Logo
Comparando coeficientes de
e
obtemos
Portanto
(Comentário: esta maneira evita calcular diretamente até a quarta derivada e usa a fatoração do operador; é muito prática em provas.)
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
.
Passo 5
Avaliação em
para
:
Precisamos de
em
. É conveniente derivar de forma organizada. A forma que usamos para derivar é escrever
e usar a regra do produto. Seguem os valores no ponto
(a conta detalhada das derivadas é padrão e eu a organizei para que você possa reproduzir passo a passo):
Calculando
obtemos
Como
, temos
Para
e
é útil computar algumas funções auxiliares. Defina
Com isso
, e então
Avaliado em
(onde
) dá
Calculando
e
(pois
), temos
Dado
, obtemos
Agora para
: a expressão geral, derivando novamente, leva a
Usando
,
(já vimos) e
, obtemos
Como
, temos
Então
.
Resumo das constantes:
Passo 6
Colocando tudo na solução geral, obtemos