Resolva o PVI.
y^{i v}+2 y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen} x, \quad y(0)=2 ;\quad y^{\prime}(0)=0 ;\quad y^{\prime \prime}(0)=-1 ;\quad y^{\prime \prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y^{(4)}+2y''+y=\operatorname{sen} x,
com as condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=0,\qquad y''(0)=-1,\qquad y^{(3)}(0)=1.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação é linear, de quarta ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é \operatorname{sen} x.
  • Temos condições iniciais para y e suas derivadas até a terceira no ponto x=0.

Passo 2

Encontrar a solução geral passa por achar a solução geral da equação homogênea associada e uma particular da equação completa.
Começo pela homogênea
y^{(4)}+2y''+y=0.
Para equações lineares de coeficientes constantes, colocamos a equação característica trocando y^{(k)} por r^k:
r^4+2r^2+1=0.
Trate como quadrática em r^2: (r^2)^2+2(r^2)+1=0, ou seja
(r^2+1)^2=0.
Logo r^2=-1 é raiz dupla. Assim as raízes de r são r=i e r=-i, cada uma com multiplicidade 2.
Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0,\beta=1) com multiplicidade m, a parte real da solução geral tem termos do tipo
\big(C_1+C_2 x+\dots +C_{m} x^{m-1}\big)\cos(\beta x) \quad\text{e}\quad \big(C_{m+1}+\dots\big)\sin(\beta x).
No nosso caso m=2, então a solução homogênea é
y_h=(C_1+C_2 x)\cos x + (C_3+C_4 x)\sin x,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Explicação curta do porquê: raízes i,-i simples gerariam \cos x e \sin x; como as raízes têm multiplicidade 2, surgem também os fatores lineares em x.)

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y^{(4)}+2y''+y=\operatorname{sen} x.
Observação importante (ressonância): o lado direito \operatorname{sen} x é solução da equação homogênea associada ao operador D^2+1. Como nosso operador é (D^2+1)^2 (pois r^4+2r^2+1=(r^2+1)^2), existe ressonância de ordem 2. Pela regra dos coeficientes a tentar, devemos multiplicar o habitual candidato (A\cos x+B\sin x) por x^m com m=2. Ou seja, tentamos
y_p = x^2\big(A\cos x + B\sin x\big).
Vou mostrar uma maneira prática de obter A e B sem derivar até a quarta ordem explícita, usando o fato de que o operador fatoriza:
(D^2+1)^2 y = \operatorname{sen} x.
Se chamarmos z=(D^2+1)y, então temos
(D^2+1)z=\operatorname{sen} x.
Primeiro calculemos z=(D^2+1)y_p. Com y_p=x^2(A\cos x+B\sin x) já podemos calcular y_p''+y_p de forma organizada.
Calculei antes (passo algébrico padrão; se quiser você pode repetir derivando term a term) que
(D^2+1)y_p = \cos x\,(2A+4B x)+\sin x\,(2B-4A x).
Chame isto de z(x):
z(x)=\cos x\,(2A+4B x)+\sin x\,(2B-4A x).
Agora aplicamos (D^2+1) em z. Como 2A+4Bx e 2B-4Ax são funções lineares, o cálculo simplifica e obtemos (feito passo a passo)
(D^2+1)z = -8A\cos x -8B\sin x.
Mas o lado direito da equação original é \operatorname{sen} x. Logo
-8A\cos x -8B\sin x = \sin x.
Comparando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos
-8A=0\quad\Rightarrow\quad A=0, \qquad -8B=1\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{8}.
Portanto
y_p = x^2\Big(0\cdot\cos x -\tfrac{1}{8}\sin x\Big) = -\tfrac{1}{8}x^2\sin x.
(Comentário: esta maneira evita calcular diretamente até a quarta derivada e usa a fatoração do operador; é muito prática em provas.)

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x)=y_h+y_p=(C_1+C_2 x)\cos x + (C_3+C_4 x)\sin x -\tfrac{1}{8}x^2\sin x.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1,C_2,C_3,C_4.

Passo 5

Avaliação em x=0 para y(0):
y(0)=C_1 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_1=2.
Precisamos de y'(x),y''(x),y^{(3)}(x) em 0. É conveniente derivar de forma organizada. A forma que usamos para derivar é escrever
y=(C_1+C_2 x)\cos x + (C_3+C_4 x)\sin x -\tfrac{1}{8}x^2\sin x
e usar a regra do produto. Seguem os valores no ponto x=0 (a conta detalhada das derivadas é padrão e eu a organizei para que você possa reproduzir passo a passo):
Calculando y'(0) obtemos
y'(0)=C_2+C_3.
Como y'(0)=0, temos
C_2+C_3=0 \quad\Rightarrow\quad C_3=-C_2.
Para y''(0) e y^{(3)}(0) é útil computar algumas funções auxiliares. Defina
A(x)=C_2+C_3+C_4 x-\tfrac{1}{8}x^2, \qquad B(x)=-C_1+C_4-C_2 x-\tfrac{1}{4}x.
Com isso y'=A\cos x + B\sin x, e então
y''=\cos\big(A'+B\big)+\sin\big(B'-A\big).
Avaliado em x=0 (onde \cos0=1,\sin0=0) dá
y''(0)=A'(0)+B(0).
Calculando A'(0)=C_4 e B(0)=-C_1+C_4=-2+C_4 (pois C_1=2), temos
y''(0)=C_4-2+C_4 = 2C_4-2.
Dado y''(0)=-1, obtemos
2C_4-2=-1 \quad\Rightarrow\quad 2C_4=1 \quad\Rightarrow\quad C_4=\tfrac{1}{2}.
Agora para y^{(3)}(0): a expressão geral, derivando novamente, leva a
y^{(3)}(0)=A''(0)+2B'(0)-A(0).
Usando A''(0)=-\tfrac{1}{4}, A(0)=C_2+C_3=0 (já vimos) e B'(0)=-C_2-\tfrac{1}{4}, obtemos
y^{(3)}(0)=-\tfrac{1}{4}+2\Big(-C_2-\tfrac{1}{4}\Big)-0 = -2C_2-\tfrac{3}{4}.
Como y^{(3)}(0)=1, temos
-2C_2-\tfrac{3}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad -2C_2=\tfrac{7}{4}\quad\Rightarrow\quad C_2=-\tfrac{7}{8}.
Então C_3=-C_2=\tfrac{7}{8}.
Resumo das constantes:
C_1=2,\qquad C_2=-\tfrac{7}{8},\qquad C_3=\tfrac{7}{8},\qquad C_4=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Colocando tudo na solução geral, obtemos
y(x)=\big(2-\tfrac{7}{8}x\big)\cos x + \Big(\tfrac{7}{8}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^2\Big)\sin x.

Resposta

y(x)=\big(2-\tfrac{7}{8}x\big)\cos x + \Big(\tfrac{7}{8}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{8}x^2\Big)\sin x

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