E. 5 Resolva o PVI:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
y'' + 3y' + 2y = 0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } \text{EQUAÇÃO DIFFERENCIAL: } y'' + 3y' + 2y = 0.ÇÃ
\text{(ii) } \text{CONDIÇÕES INICIAIS: } y(0)=1 \quad\text{e}\quad y'(0)=0.ÇÕ
O que se pede: encontrar a função y(t) (ou y(x), tomando t como variável independente) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes (como a que temos), uma técnica padrão é procurar soluções da forma
y(t)=e^{r t},
onde r é um número que vamos determinar. Por que essa escolha? Porque as derivadas de e^{r t} são múltiplos de e^{r t}:
\frac{d}{dt}e^{r t}=r e^{r t},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{r t}=r^2 e^{r t},
então ao substituir y=e^{r t} na equação diferencial os fatores e^{r t} se cancelam, e ficamos com uma equação apenas em r (polinomial), chamada equação característica. Isso transforma o problema diferencial em um problema algébrico mais simples.

Passo 3

Formação da equação característica: substituindo y=e^{r t} na equação \,y''+3y'+2y=0 obtemos
r^2 e^{r t} + 3 r e^{r t} + 2 e^{r t} = 0.
Como e^{r t}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{r t} e obter a equação característica em r:
r^2 + 3r + 2 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica: precisamos achar as raízes de
r^2 + 3r + 2 = 0.
Podemos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja 2. Esses números são 1 e 2. Logo
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2).
Assim as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2,
que são duas raízes reais distintas.

Passo 5

Construindo a solução geral: quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aplicando isso às nossas raízes r_1=-1 e r_2=-2, obtemos
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Calculando a derivada para usar a condição inicial em y'(0): derivamos y(t) em relação a t:
y'(t) = \frac{d}{dt}\big(C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}\big) = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t}.
Expliquei cada passo: derivada de e^{-t} é -e^{-t}, derivada de e^{-2t} é -2 e^{-2t}.

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0)=1: substituímos t=0 na expressão de y(t):
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2.
Como y(0)=1, obtemos a primeira equação para C_1 e C_2:
C_1 + C_2 = 1. \tag{1}

Passo 8

Aplicando a condição inicial y'(0)=0: substituímos t=0 na expressão de y'(t):
y'(0) = -C_1 e^{0} - 2C_2 e^{0} = -C_1 - 2C_2.
Como y'(0)=0, obtemos a segunda equação:
- C_1 - 2C_2 = 0. \tag{2}

Passo 9

Resolvendo o sistema para C_1\) e \(C_2\): temos o sistema linear \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] - C_1 - 2C_2 = 0. \end{cases}
Uma forma simples é usar substituição. Da primeira equação (1)\] isolamos \(C_1:
C_1 = 1 - C_2.
Substituímos na segunda (2):
-(1 - C_2) - 2C_2 = 0.
Desenvolvendo os parênteses:
-1 + C_2 - 2C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -1 - C_2 = 0.
Logo
C_2 = -1.
Substituindo em C_1 = 1 - C_2:
C_1 = 1 - (-1) = 2.]

Passo 10

Escrevendo a solução particular final: com C_1=2 e C_2=-1, a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais é
y(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t}.

Passo 11

Verificação rápida (confirmação): checamos as condições iniciais para ter certeza. Em t=0,
y(0)=2\cdot 1 - 1 = 1,
e
y'(t) = -2 e^{-t} + 2 e^{-2t}\quad\Rightarrow\quad y'(0) = -2 + 2 = 0.
Ambas conferem com as condições iniciais, então a solução está correta. Parabéns — mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema segue um procedimento direto: tentar exponencial, formar a equação característica, achar raízes, escrever a solução geral e usar as condições iniciais para determinar constantes. Respira, você já mandou bem.

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

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