O que se pede: encontrar a função y(t) (ou y(x), tomando t como variável independente) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes (como a que temos), uma técnica padrão é procurar soluções da forma
y(t)=e^{r t},
onde r é um número que vamos determinar. Por que essa escolha? Porque as derivadas de e^{r t} são múltiplos de e^{r t}:
então ao substituir y=e^{r t} na equação diferencial os fatores e^{r t} se cancelam, e ficamos com uma equação apenas em r (polinomial), chamada equação característica. Isso transforma o problema diferencial em um problema algébrico mais simples.
Passo 3
Formação da equação característica: substituindo y=e^{r t} na equação \,y''+3y'+2y=0 obtemos
r^2 e^{r t} + 3 r e^{r t} + 2 e^{r t} = 0.
Como e^{r t}\neq 0 para todo t, podemos dividir por e^{r t} e obter a equação característica em r:
r^2 + 3r + 2 = 0.
Passo 4
Resolvendo a equação característica: precisamos achar as raízes de
r^2 + 3r + 2 = 0.
Podemos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números cuja soma seja 3 e cujo produto seja 2. Esses números são 1 e 2. Logo
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2).
Assim as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2,
que são duas raízes reais distintas.
Passo 5
Construindo a solução geral: quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aplicando isso às nossas raízes r_1=-1 e r_2=-2, obtemos
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Calculando a derivada para usar a condição inicial em y'(0): derivamos y(t) em relação a t:
Ambas conferem com as condições iniciais, então a solução está correta. Parabéns — mesmo com pouco tempo, esse tipo de problema segue um procedimento direto: tentar exponencial, formar a equação característica, achar raízes, escrever a solução geral e usar as condições iniciais para determinar constantes. Respira, você já mandou bem.