E. 4 Calcule a transformada inversa:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa
Informações dadas:
é a função no domínio de
(variável complexa/real do domínio de Laplace).
Não há outras condições explícitas, então assumimos o caso padrão .
Não há outras condições explícitas, então assumimos o caso padrão
Passo 2
Vou lembrar uma identidade padrão que é muito útil e que vamos usar aqui: a transformada de Laplace da função cosseno. A definição usada é
onde
é a variável do domínio (geralmente com
para convergência). Agora calculemos a transformada de
de forma curta e didática:
Considere
. Podemos escrever
como a parte real de
, então
Para
vale
Tomando a parte real,
Portanto chegamos à identidade padrão
Aqui
é uma constante real (a frequência do cosseno) e
a variável de Laplace.
Passo 3
Agora compare a identidade com a função dada
. Note que
, então a função tem a forma
Pelo resultado do passo anterior, isso corresponde exatamente a
.
Passo 4
Logo, a transformada inversa é simplesmente a função no tempo que gera essa expressão em
. Portanto
valendo para
(região habitual de definição da transformada de Laplace).
Verificação rápida: aplicando
em
pelo passo 2 com
obtemos novamente
, então a inversa está correta.
Passo 5
Dica para a prova (curto e prático): quando você vir
pense imediatamente em
. Se vir
pense em
. Essas memorizadas salvam muito tempo.