E. 4 Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\}.
Informações dadas:
\displaystyle \frac{s}{s^{2}+9} é a função no domínio de s (variável complexa/real do domínio de Laplace).
Não há outras condições explícitas, então assumimos o caso padrão t\ge 0.

Passo 2

Vou lembrar uma identidade padrão que é muito útil e que vamos usar aqui: a transformada de Laplace da função cosseno. A definição usada é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável do domínio (geralmente com \operatorname{Re}(s)>0 para convergência). Agora calculemos a transformada de \cos(at) de forma curta e didática:
Considere \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt. Podemos escrever \cos(at) como a parte real de e^{i a t}, então
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{i a t}\,dt\right) = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt\right).
Para \operatorname{Re}(s)>0 vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a}.
Tomando a parte real,
\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\Re\!\left(\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto chegamos à identidade padrão
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a é uma constante real (a frequência do cosseno) e s a variável de Laplace.

Passo 3

Agora compare a identidade com a função dada \displaystyle \frac{s}{s^{2}+9}. Note que 9=3^{2}, então a função tem a forma
\frac{s}{s^{2}+(3)^{2}}.
Pelo resultado do passo anterior, isso corresponde exatamente a \mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s).

Passo 4

Logo, a transformada inversa é simplesmente a função no tempo que gera essa expressão em s. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+9}\right\}=\cos(3t),
valendo para t\ge 0 (região habitual de definição da transformada de Laplace).
Verificação rápida: aplicando \mathcal{L} em \cos(3t) pelo passo 2 com a=3 obtemos novamente \dfrac{s}{s^{2}+9}, então a inversa está correta.

Passo 5

Dica para a prova (curto e prático): quando você vir \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} pense imediatamente em \cos(at). Se vir \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} pense em \sin(at). Essas memorizadas salvam muito tempo.

Resposta

\cos(3t)

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