Calcule a integrais indefinidas
\int x^{2}+4 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. As informações relevantes são:
\int x^{2}+4 x+6\,d x.
A pergunta é: qual é a função F(x) tal que F'(x)=x^{2}+4x+6? (ou seja, encontre \int x^{2}+4 x+6\,d x).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental que facilita muito o cálculo: a linearidade da integral. Ela diz que a integral de uma soma é a soma das integrais e que constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx
e
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é uma constante. Exemplo rápido: \int (2x+3)\,dx = 2\int x\,dx + \int 3\,dx.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso integrando, escrevemos:
\int x^{2}+4 x+6\,d x = \int x^{2}\,dx + \int 4x\,dx + \int 6\,dx.
Também fatoramos as constantes:
\int 4x\,dx = 4\int x\,dx,\qquad \int 6\,dx = 6\int 1\,dx.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência para integrais (uma das regras mais importantes):
seja n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é um número real que indica a potência de x. Aplicando para n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Integramos o termo \int 4x\,dx. Primeiro integramos \int x\,dx com a regra de potência (aqui n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante 4:
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = 2x^{2}.

Passo 6

Integramos o termo constante \int 6\,dx. A regra para constante é simples: a integral de uma constante c é c x (porque derivando c x volta c). Assim
\int 6\,dx = 6x.

Passo 7

Juntando as primitivas dos três termos (cada uma obtida nos passos anteriores) e lembrando de adicionar a constante de integração C, obtemos a primitiva procurada.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): se diferenciarmos a primitiva obtida, cada termo volta ao integrando original — a derivada de \tfrac{x^{3}}{3} é x^{2}, a derivada de 2x^{2} é 4x e a derivada de 6x é 6. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+6x+C

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