E. 4 Calcule a transformada inversa: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\},
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\}.
Informações dadas: a função no domínio de s é \frac{1}{(s-2)^{2}}. Não há figura nem mais dados. Nosso objetivo é encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{(s-2)^{2}} (com t\ge0 e região de convergência típica \operatorname{Re}(s)>2).
Passo 2
Vou usar uma propriedade muito útil (mostro por que funciona): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Explicação e demonstração curta: pela definição da transformada de Laplace,
Aqui a é um número real (ou complexo) que desloca a variável s. Essa propriedade é chamada de deslocamento no eixo s (shift theorem). Ela nos diz que se reconhecermos uma expressão como F(s-a), a inversa será e^{at}f(t), onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Passo 3
Lembrete de uma transformada básica que vamos precisar: para n inteiro não negativo vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
No caso n=1 temos
\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.
Se você quiser ver por que isso é verdade para n=1, fazemos uma integração por partes:
\mathcal{L}\{t\}=\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt.
Tomando u=t, dv=e^{-st}dt então du=dt, v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
O termo de fronteira vale 0 quando \operatorname{Re}(s)>0, e a integral restante é \frac{1}{s}. Logo
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = 0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}.
Passo 4
Observe que a função dada pode ser escrita como \frac{1}{(s-2)^{2}} = F(s-2) com F(s)=\frac{1}{s^{2}}. Pelo Passo 2 (deslocamento) e pelo Passo 3 (inversa de 1/s^{2} é t) concluímos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\} = e^{2t}\cdot t.
Em outras palavras, aplicamos a regra: se \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, então \mathcal{L}\{e^{2t}t\}=1/(s-2)^{2}.
Passo 5
Faço uma verificação direta para ficar seguro: calcule a transformada de Laplace de f(t)=t e^{2t}:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}=\int_{0}^{\infty} t e^{-st} e^{2t}\,dt = \int_{0}^{\infty} t e^{-(s-2)t}\,dt.
Pela fórmula do Passo 3 (substituindo s por s-2) essa integral vale \frac{1}{(s-2)^{2}}, desde que \operatorname{Re}(s)>2. Portanto a inversa está correta.