Utilizando propriedades da transformada de Laplace calcule
Indique as propriedades que está usando.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
ou seja, encontrar
Informações dadas que vamos usar: a expressão soma duas funções em
. Não há figura nem outra informação. Vamos aplicar propriedades da transformada de Laplace (linearidade, propriedade de multiplicação por
, e deslocamento em
causado por
).
Passo 2
Usamos linearidade da transformada de Laplace para separar a soma em duas transformadas:
Propriedade usada: para quaisquer funções
e
e constantes,
.
Passo 3
Vamos calcular
.
Primeiro recorde a transformada de :
Primeiro recorde a transformada de
Propriedade usada: transformada de
é
; aqui
.
Passo 4
Usamos a propriedade de multiplicação por
: para uma função
com
,
Aplicando com
e
, obtemos
Agora derivamos passo a passo:
Portanto, com o sinal negativo externo,
Passo 5
Agora calculamos
.
Primeiro a transformada de (caso sem exponencial): para
inteiro não-negativo,
Primeiro a transformada de
Aqui
, então
Em seguida usamos a propriedade de deslocamento em
(multiplicação por
): se
então
Aplicando com
e
, tem-se
Passo 6
Reunimos as duas parcelas obtidas:
Observação sobre região de convergência: a transformada de
exige
; a parcela com
exige
. Portanto a região comum onde a soma existe é
.
Passo 7
Somando as duas parcelas (pela linearidade):