Utilizando propriedades da transformada de Laplace calcule
\mathcal{L}\left[t \operatorname{sen}(3 t)+t^{2} e^{3 t}\right](s)
Indique as propriedades que está usando.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
t \operatorname{sen}(3t) + t^{2} e^{3t}
ou seja, encontrar
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t) + t^{2} e^{3t}\}(s).
Informações dadas que vamos usar: a expressão soma duas funções em t. Não há figura nem outra informação. Vamos aplicar propriedades da transformada de Laplace (linearidade, propriedade de multiplicação por t, e deslocamento em s causado por e^{at}).

Passo 2

Usamos linearidade da transformada de Laplace para separar a soma em duas transformadas:
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t) + t^{2} e^{3t}\}(s) = \mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)\}(s) + \mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\}(s).
Propriedade usada: para quaisquer funções f e g e constantes, \mathcal{L}\{f+g\}=\mathcal{L}\{f\}+\mathcal{L}\{g\}.

Passo 3

Vamos calcular \mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)\}(s).
Primeiro recorde a transformada de \operatorname{sen}(3t):
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.
Propriedade usada: transformada de \sin(\omega t) é \dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}; aqui \omega=3.

Passo 4

Usamos a propriedade de multiplicação por t: para uma função f(t) com \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s),
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Aplicando com f(t)=\operatorname{sen}(3t) e F(s)=\dfrac{3}{s^{2}+9}, obtemos
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)\}(s) = - \frac{d}{ds}\left(\frac{3}{s^{2}+9}\right).
Agora derivamos passo a passo:
\frac{d}{ds}\left(\frac{3}{s^{2}+9}\right) =3\cdot\frac{d}{ds}\left((s^{2}+9)^{-1}\right) =3\cdot\left(-1\right)\cdot 2s\,(s^{2}+9)^{-2} =-\frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}.
Portanto, com o sinal negativo externo,
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)\}(s) = -\left(-\frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}\right) = \frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos \mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\}(s).
Primeiro a transformada de t^{2} (caso sem exponencial): para n inteiro não-negativo,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui n=2, então
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Em seguida usamos a propriedade de deslocamento em s (multiplicação por e^{at}): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s) então
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).
Aplicando com a=3 e F(s)=\dfrac{2}{s^{3}}, tem-se
\mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\}(s)=\frac{2}{(s-3)^{3}}.

Passo 6

Reunimos as duas parcelas obtidas:
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)\}(s)=\frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{t^{2} e^{3t}\}(s)=\frac{2}{(s-3)^{3}}.
Observação sobre região de convergência: a transformada de t^{2}e^{3t} exige \operatorname{Re}(s)>3; a parcela com \sin(3t) exige \operatorname{Re}(s)>0. Portanto a região comum onde a soma existe é \operatorname{Re}(s)>3.

Passo 7

Somando as duas parcelas (pela linearidade):
\mathcal{L}\{t \operatorname{sen}(3t)+t^{2} e^{3t}\}(s) = \frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}+\frac{2}{(s-3)^{3}}, \qquad \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\frac{6s}{(s^{2}+9)^{2}}+\frac{2}{(s-3)^{3}}

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