Resolva: \left(3 x^{2} y+y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+3 x y^{2}+2 y\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(3x^{2}y + y^{3}\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x^{3} + 3xy^{2} + 2y\bigr)\,dy = 0.
Este é um problema de equação exata, pois vamos checar se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = 3x^{2}y + y^{3} \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y} = x^{3} + 3xy^{2} + 2y.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3x^{2}y + y^{3}, \quad N(x,y) = x^{3} + 3xy^{2} + 2y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 3x^{2} + 3y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2} + 3y^{2}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y) = \int \bigl(3x^{2}y + y^{3}\bigr)\,dx = y\int 3x^{2}\,dx \;+\; y^{3}\int 1\,dx = y\,x^{3} + x\,y^{3} + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Agora diferenciamos F em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial F}{\partial y} = x^{3} + 3x\,y^{2} + h'(y) \overset{!}{=} x^{3} + 3x\,y^{2} + 2y.
Logo
h'(y) = 2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^{2}.

Passo 5

Substituindo h(y) em F, obtemos a função potencial completa
F(x,y) = x^{3}y + x\,y^{3} + y^{2}.
A solução geral da equação diferencial exata é
F(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3}y \;+\; x\,y^{3} \;+\; y^{2} \;=\; C.

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