Resolva o PVI
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que é resolver a equação diferencial $ y’’ + y = \delta(t - \pi) $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e usando a função delta de Dirac, que é uma função bem especial. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ótima ferramenta para resolver esse tipo de equação, especialmente quando tem funções como a delta.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembra que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a transformada de $ y(t) $. Já a transformada de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Quanto à transformada da função delta de Dirac, $ \delta(t - a) $, é $ e^{-a s} $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $ na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora isolar $ Y(s) $. Primeiro, agrupamos os termos que têm $ Y(s) $:
Então, dividimos ambos os lados por $ s^2 + 1 $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter $ y(t) $. Sabemos que:
E, para o segundo termo, usando a propriedade de atraso (ou deslocamento) da Transformada de Laplace, temos:
onde $ u(t - \pi) $ é a função degrau de Heaviside que “liga” a função seno a partir de $ t = \pi $.
Então, juntando tudo:
Resposta
A solução do problema é $ y(t) = \sin(t) + \sin(t - \pi) \cdot u(t - \pi) $, onde $ u(t - \pi) $ é a função degrau de Heaviside.