Resolva o PVI: y^{\prime}=e^{x-y}, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' = e^{x - y},\quad y(0)=0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar y(x).

Passo 2

Separe variáveis em x e y:
\frac{dy}{dx} = e^{x}e^{-y} \quad\Longrightarrow\quad e^{y}\,dy = e^{x}\,dx.
Agora integre os dois lados:
\int e^{y}\,dy = \int e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplique a condição inicial y(0)=0:
e^{y(0)} = e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad 1 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Substituindo de volta, fica
e^{y} = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Resposta

y(x)=x

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