Resolva: y^{\prime}+\frac{2 y}{x}=\frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{e^{x}}{x^{2}}.
O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos na forma-padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x)=\tfrac{2}{x} e Q(x)=\tfrac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|x|\bigr) = x^{2} \quad(x\neq0).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}y' + 2x\,y = e^{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{2}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = x^{2}y' + 2x\,y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y(x) = \frac{e^{x} + C}{x^{2}}.

Resposta

y(x) = \frac{e^{x} + C}{x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária.

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