Encontre uma segunda solução da equação diferencial, dada uma solução y_{1} da mesma.
(a) t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+6 y=0, \quad t>0, \quad y_{1}(t)=t^{2}

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A equação diferencial é t^{2}y''-4t y'+6y=0,\qquad t>0.
    • Uma solução conhecida é y_{1}(t)=t^{2}.
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar uma segunda solução da equação diferencial (isto é, uma solução y_{2}(t) que seja linearmente independente de y_{1}(t)).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1), porque muitas técnicas usam essa forma. Para isso divide-se toda a equação por t^{2} (válido pois t>0):
y'' - \frac{4}{t}y' + \frac{6}{t^{2}}y = 0.
Aqui escrevemos a equação como
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0,
portanto, identificamos as funções
P(t) = -\frac{4}{t},\qquad Q(t)=\frac{6}{t^{2}}.
Explicação curta do porquê: a forma padrão facilita aplicar fórmulas conhecidas (como redução de ordem) porque isola os coeficientes P e Q que aparecem nessas fórmulas.

Passo 3

Apresentar a técnica que vamos usar: redução de ordem. Ideia central (explicada de forma simples):
  • Se conhecemos uma solução não nula y_{1}(t) de uma equação linear de segunda ordem, então procuramos outra solução da forma
y_{2}(t)=v(t)\,y_{1}(t),
onde v(t) é uma função a determinar. Substituindo y_{2} na equação e fazendo algumas manipulações, chega-se a uma equação de primeira ordem para v' que pode ser integrada.
Existe uma fórmula direta e prática que vem dessa manipulação: uma segunda solução pode ser escrita (até fator constante) como
y_{2}(t)=y_{1}(t)\int \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.
Explicação das variáveis nessa fórmula:
  • y_{1}(t) é a solução já conhecida.
  • P(t) é o coeficiente de y' na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=0.
  • O expoente -\int P(t)\,dt aparece porque, ao reduzir a ordem, surge um fator exponencial que representa o fator integrante da equação de primeira ordem obtida para v'.
Dica prática para a prova: usar diretamente essa fórmula evita rederivações longas quando se tem uma solução conhecida.

Passo 4

Calcular os termos necessários da fórmula com os P(t) e y_{1}(t) que temos.
Já identificamos P(t)=-\dfrac{4}{t} e y_{1}(t)=t^{2}.
Calcule \displaystyle -\int P(t)\,dt:
-\int P(t)\,dt = -\int\left(-\frac{4}{t}\right)dt = \int \frac{4}{t}\,dt = 4\int \frac{1}{t}\,dt = 4\ln t.
Portanto
e^{-\int P(t)\,dt}=e^{4\ln t} = (e^{\ln t})^{4}=t^{4}.
Agora calcule o integrando da fórmula:
\frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}} = \frac{t^{4}}{(t^{2})^{2}} = \frac{t^{4}}{t^{4}} = 1.

Passo 5

Integrar o integrando e montar y_{2}.
Como o integrando é 1, tem-se
\int \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt = \int 1\,dt = t + C.
Na busca por uma segunda solução linearmente independente, basta tomar uma primitiva qualquer sem o termo constante multiplicativo; escolheremos a primitiva t (o termo constante gera apenas múltiplos de y_{1} depois da multiplicação por y_{1}, então não interessa para encontrar uma solução independente).
Então, pela fórmula,
y_{2}(t) = y_{1}(t)\cdot t = t^{2}\cdot t = t^{3}.
Observação prática: qualquer múltiplo constante de t^{3} também é solução, e a independência linear entre t^{2} e t^{3} não muda por multiplicação por constantes.

Passo 6

Verificações (como conferir na prova sem muita conta):
  1. Verificar que y_{2}(t)=t^{3} resolve a equação original. Calculando derivadas:
y_{2}'(t)=3t^{2},\qquad y_{2}''(t)=6t.
Substituindo em \,t^{2}y''-4t y'+6y\,:
t^{2}\cdot(6t) - 4t\cdot(3t^{2}) + 6\cdot t^{3} = 6t^{3} - 12t^{3} + 6t^{3} = 0,
logo y_{2} é de fato uma solução.
  1. Verificar independência linear (rápido check com Wronskiano): o Wronskiano de y_{1}=t^{2} e y_{2}=t^{3} é
W(t)=\begin{vmatrix} t^{2} & t^{3} \\\\ 2t & 3t^{2} \end{vmatrix} = t^{2}\cdot 3t^{2} - t^{3}\cdot 2t = 3t^{4}-2t^{4}=t^{4}.
Como t>0, tem-se W(t)=t^{4}\neq 0, então as soluções são linearmente independentes.

Passo 7

Comentário final de orientação para a prova: quando a equação é de Euler-Cauchy (coeficientes monômios em potências de t), muitas vezes soluções polinomiais em t aparecem; aqui t^{2} e t^{3} são exemplos simples. A fórmula de redução de ordem usada é uma ferramenta poderosa e rápida quando se conhece uma solução.

Resposta

y_{2}(t)=t^{3}

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