Resolva o PVI
y^prime+x^alpha y & =x^beta y(beta) & =alpha

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + x^alphay = x^beta,
com condição y(beta)=alpha. O conteúdo necessário é o método do fator integrante para EDOs lineares de 1º ordem.

Passo 2

A equação padrão é y'+p(x)y=q(x) com p(x)=x^alpha e q(x)=x^beta. Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral x^alphadxr) =exp!l(x^alpha+1alpha+1r)
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
mu(x)y' + mu(x)x^alphay = mu(x)x^beta Longrightarrow l(mu(x),yr)' = mu(x),x^beta

Passo 3

Integramos dos dois lados em relação a x:
mu(x),y(x) =integral mu(x),x^beta,dx + C =integral x^betaexp!l(x^alpha+1alpha+1r),dx + C
Isolando y(x) fica
y(x) =exp!l(-x^alpha+1alpha+1r) l[ C + integral x^betaexp!l(tfracx^alpha+1alpha+1r),dx r]

Passo 4

Para determinar a constante C, escolhemos como limite de integração o ponto inicial x=beta. Assim reescrevemos
y(x) =exp!l(-x^alpha+1alpha+1r) l[ C + integralbeta^x t^betaexp!l(tfract^alpha+1alpha+1r),dt r]

Passo 5

Impondo y(beta)=alpha obtemos
alpha =exp!l(-beta^alpha+1alpha+1r) l[ C + integralbeta^beta(cdots),dt r] =exp!l(-beta^alpha+1alpha+1r),C,
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C=alpha,exp!l(beta^alpha+1alpha+1r)

Resposta

y(x) =exp!l(-tfracx^alpha+1alpha+1r) gl[ alpha,exp!l(tfracbeta^alpha+1alpha+1r) +integralbeta^x t^beta,exp!l(tfract^alpha+1alpha+1r),dt gr]

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