Resolva o pvi, pelo método dos coeficientes a determinar:
ddotx+alpha dotx-beta x & =e^t x(0) & =0 dotx(0) & =0

Passo 1

No enunciado, temos o problema:
ddotx + alpha dotx - beta x = e^t, x(0)=0, dotx(0)=0
É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos resolver usando o método dos coeficientes a determinar: primeiro a solução geral da homogênea, depois uma particular para o termo e^t, e por fim ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Consideramos a homogênea
ddotx + alpha dotx - beta x = 0
A equação característica é
r^2 + alpha r - beta = 0,
cuja solução é
r1,2 = -alpha pm raizalpha^2 + 4beta2
Logo a solução homogênea é
xh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é e^t, assumimos
xp(t) = A e^t
Substituindo em ddotx + alpha dotx - beta x = e^t obtemos
A e^t,(1 + alpha - beta) = e^t,
portanto, supondo 1 + alpha - beta neq 0,
A = 11 + alpha - beta

Passo 4

A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + e^t1 + alpha - beta
As condições iniciais dão
x(0) = C1 + C2 + 11 + alpha - beta = 0,
dotx(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t + e^t1 + alpha - beta Longrightarrow dotx(0) = C1 r1 + C2 r2 + 11 + alpha - beta = 0
Formamos o sistema
C1 + C2 = -dfrac11 + alpha - beta,[6pt] C1 r1 + C2 r2 = -dfrac11 + alpha - beta ]

Passo 5

Subtraindo a primeira equação vezes r2 da segunda, obtemos
C1,(r1 - r2) = r2 - 11 + alpha - beta,
logo
C1 = r2 - 1(r1 - r2),(1 + alpha - beta), C2 = 1 - r1(r1 - r2),(1 + alpha - beta)

Resposta

x(t) = r2 - 1(r1 - r2),(1 + alpha - beta),e^r1 t + 1 - r1(r1 - r2),(1 + alpha - beta),e^r2 t + 11 + alpha - beta,e^t,
onde
r1,2 = -alpha pm raizalpha^2 + 4beta2

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