Encontre os valores de a e b tais que lim x 2 f(x) e lim x 3 f(x) existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que os limites de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 e de 3 existam. Para isso, vamos precisar entender sobre limites e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite quando $ x $ se aproxima de 2. Olhando para a função, temos duas expressões que importam perto de 2:
Para $ x < 2 $: $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $
Para $ 2 \leq x < 3 $: $ f(x) = a x^2 - b x + 3 $
Queremos que o limite pela esquerda (quando $ x $ vem de valores menores que 2) seja igual ao limite pela direita (quando $ x $ vem de valores maiores ou iguais a 2).
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda de $ x $ se aproximando de 2:
x
Perceba que o numerador $ x^2 - 4 $ pode ser fatorado como $ (x - 2)(x + 2) $. Isso simplifica a fração:
limx to 2^- x^2 - 4x - 2
Então, o limite fica:
x^2 - 4
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela direita de $ x $ se aproximando de 2 usando a segunda expressão da função:
x
Substituímos $ x = 2 $:
limx to 2^+ (a x^2 - b x + 3)
Passo 5
Para que o limite exista em $ x = 2 $, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
x = 2
Simplificando:
4 = 4a - 2b + 3
4a - 2b + 3 = 4
4a - 2b = 1 çã
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando $ x $ se aproxima de 3. As expressões que importam perto de 3 são:
Para $ 2 \leq x < 3 $: $ f(x) = a x^2 - b x + 3 $
Para $ x \geq 3 $: $ f(x) = 2x - a + b $
Novamente, queremos que o limite pela esquerda (valores menores que 3) seja igual ao limite pela direita (valores maiores ou iguais a 3).
Passo 7
Calculamos o limite pela esquerda de $ x $ se aproximando de 3:
x
Substituímos $ x = 3 $:
limx to 3^- (a x^2 - b x + 3)
Passo 8
Calculamos o limite pela direita de $ x $ se aproximando de 3 usando a terceira expressão da função:
x
Substituímos $ x = 3 $:
limx to 3^+ (2x - a + b)
Passo 9
Para que o limite exista em $ x = 3 $, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
x = 3
Simplificando:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b
9a - 3b + 3 = 6 - a + b
10a - 4b = 3 çã
Passo 10
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
$ 2a - b = \frac{1}{2} $
$ 5a - 2b = \frac{3}{2} $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 2 para facilitar:
$ 4a - 2b = 1 $
$ 5a - 2b = \frac{3}{2} $
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
2a - b = 12
5a - 2b = 32
Passo 11
Agora que temos $ a = \frac{1}{2} $, vamos substituir na Equação 1 para encontrar $ b $:
a = 12
b
2 ( 12 ) - b = 12
1 - b = 12
-b = 12 - 1
Resposta
Os valores são $ a = \frac{1}{2} $ e $ b = \frac{1}{2} $.