Temos um PVI de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçante harmônico:
y'' + 4y = 3sin(2t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. Para resolver, a gente vai primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular, e por fim usar as condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é y'' + 4y = 0. Montando a equação característica:
r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i
Isso dá solução homogênea
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)
Passo 3
Como o forçamento é 3sin(2t) e a frequência 2 coincide com a da homogênea, usamos o método dos coeficientes indeterminados com fator t. Supomos
yp(t) = tl(acos(2t) + bsin(2t)r)
Calculando yp'' + 4yp (detalhes de derivação) chegamos a
yp'' + 4yp = -4asin(2t) + 4bcos(2t)
Igualando ao lado direito 3sin(2t) + 0cos(2t) dá
-4a = 3, 4b = 0 implies a = -34,; b = 0
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yp(t) = -34 ,tcos(2t)
Passo 4
A solução geral do PVI é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) - 34 ,tcos(2t)
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=2 implica