Resolva os PVIs abaixo
l y^prime prime+4 y=3 sen(2 t) y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

Temos um PVI de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçante harmônico:
y'' + 4y = 3sin(2t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. Para resolver, a gente vai primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular, e por fim usar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é y'' + 4y = 0. Montando a equação característica:
r^2 + 4 = 0 implies r = pm 2i
Isso dá solução homogênea
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Como o forçamento é 3sin(2t) e a frequência 2 coincide com a da homogênea, usamos o método dos coeficientes indeterminados com fator t. Supomos
yp(t) = tl(acos(2t) + bsin(2t)r)
Calculando yp'' + 4yp (detalhes de derivação) chegamos a
yp'' + 4yp = -4asin(2t) + 4bcos(2t)
Igualando ao lado direito 3sin(2t) + 0cos(2t)
-4a = 3, 4b = 0 implies a = -34,; b = 0
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yp(t) = -34 ,tcos(2t)

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) - 34 ,tcos(2t)
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=2 implica
C1 = 2
Em seguida, derivando
y'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t) - 34cos(2t) + 32tsin(2t)
e avaliando em t=0:
y'(0) = 2C2 - 34 = -1 implies 2C2 = -14 implies C2 = -18

Passo 5

Substituindo C1=2 e C2=-18 na solução geral, obtemos a solução do PVI.

Resposta

y(t)=2cos(2t)-tfrac18sin(2t)-tfrac34,tcos(2t)

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