Resolva os PVI’s abaixo;
\left\{\begin{array}{l}t y^{\prime}+2 y=t^{2}-t+1, \quad t>0 \y(1)=\frac{1}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte problema de valor inicial (PVI):
\begin{cases} t\,y'(t)+2y(t)=t^{2}-t+1, & t>0,\\[4pt] y(1)=\dfrac{1}{2}. \end{cases}
Informações e o que é pedido:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear em y.
  • O domínio é t>0 (isso permite dividir por t sem problemas).
  • A condição inicial é y(1)=\tfrac{1}{2}.
  • Objetivo: encontrar a função y(t) que satisfaça a equação para t>0 e a condição inicial.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por t (válido porque t>0):
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=t-1+\frac{1}{t}.
Aqui reconhecemos a forma padrão
y'+p(t)y=q(t),
com p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=t-1+\dfrac{1}{t}. Explicando: p(t) é a função que multiplica y e q(t) é o termo independente dependendo de t.

Passo 3

Usamos o método do fator integrante. O fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln t,
portanto (ignorando constante multiplicativa)
\mu(t)=e^{2\ln t}=t^{2}.
Comentário rápido: o fator integrante transforma a equação em uma forma que é a derivada do produto \mu(t)y(t).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(t)=t^{2}:
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=t^{2}\biggl(t-1+\frac{1}{t}\biggr).
O lado esquerdo é a derivada do produto (t^{2}y(t))'. Calculando o lado direito:
t^{2}\biggl(t-1+\frac{1}{t}\biggr)=t^{3}-t^{2}+t.
Assim obtemos a identidade
\bigl(t^{2}y(t)\bigr)'=t^{3}-t^{2}+t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em t:
t^{2}y(t)=\int\bigl(t^{3}-t^{2}+t\bigr)\,dt=\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y(t):
y(t)=\frac{1}{t^{2}}\left(\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}+C\right) =\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+C\,t^{-2}.

Passo 6

Usar a condição inicial y(1)=\dfrac{1}{2} para determinar C. Substituindo t=1:
y(1)=\frac{1^{2}}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C\cdot 1^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C.
Calculando a soma dos três primeiros termos com denominador comum 12:
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3-4+6}{12}=\frac{5}{12}.
Como y(1)=\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{12}, temos
\frac{5}{12}+C=\frac{6}{12}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{12}.

Passo 7

Substituindo C=\dfrac{1}{12} na expressão geral, obtemos a solução particular:
y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,t^{-2}.
Verificação rápida (opcional): derivando e substituindo na equação original confirma que a igualdade é satisfeita (pode ser feita se desejar checar passo a passo).

Resposta

y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12\,t^{2}},\qquad t>0

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