Resolva os PVI’s abaixo;
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Informações e o que é pedido:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear em
. - O domínio é
(isso permite dividir por sem problemas). - A condição inicial é
. - Objetivo: encontrar a função
que satisfaça a equação para e a condição inicial.]
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
):
Aqui reconhecemos a forma padrão
com
e
. Explicando:
é a função que multiplica
e
é o termo independente dependendo de
.
Passo 3
Usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é definido por
Aqui
portanto (ignorando constante multiplicativa)
Comentário rápido: o fator integrante transforma a equação em uma forma que é a derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Calculando o lado direito:
Assim obtemos a identidade
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 6
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Calculando a soma dos três primeiros termos com denominador comum
:
Como
, temos
Passo 7
Substituindo
na expressão geral, obtemos a solução particular:
Verificação rápida (opcional): derivando e substituindo na equação original confirma que a igualdade é satisfeita (pode ser feita se desejar checar passo a passo).