Resolva os PVIs abaixo.
\left{ ly^prime-2 y=e^2 t y(0)=2\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' - 2y = e^2t, y(0)=2,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + p(t)y = g(t), aqui com p(t)=-2. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -2,dt = e^-2t
Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^-2ty' - 2e^-2ty = e^-2te^2t Longrightarrow ddtl(e^-2tyr) = 1

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^-2tyr),dt = integral 1,dt Longrightarrow e^-2ty = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y e impondo a condição y(0)=2:
y(t) = e^2t(t + C), y(0)=2 ;Rightarrow; 2 = e^0(0 + C) = C
Logo a solução particular é
y(t) = e^2t(t + 2)

Resposta

y(t) = e^2t(t + 2)

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