Resolva os PVIs abaixo.
\left{ lt y^prime+2 y=cos tt y(pi)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
t,y'(t) + 2,y(t) = cos tt, y(pi)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y' + p(t),y = q(t). Dividindo tudo por t (com tneq0), obtemos
y' + 2t,y = cos tt^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral 2t,dtr)=exp(2ln|t|)=t^2
Multiplicando a equação padrão por t^2
t^2y' + 2t,y = cos t,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^2y:
ddtl(t^2yr)=cos t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(t^2y),dt = integral cos t,dt Longrightarrow t^2y = sin t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y(t) = sin t + Ct^2
Aplicando a condição inicial y(pi)=0:
0 = y(pi) = sinpi + Cpi^2 = 0 + Cpi^2 ;Longrightarrow; C=0

Resposta

boxedy(t)=sin tt^2

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