Resolva os PVIs abaixo.
y^prime=2 y2 t-y^2 / t, y(1)=-2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y'=2y2t-y^2t com condição inicial y(1)=-2. É uma EDO de primeira ordem do tipo homogênea que aceita a substituição v= yt.

Passo 2

Fazendo a substituição y=v,t, obtemos dydt=v+tdvdt. Substituindo na EDO:
v + tdvdt = 2,(v t),t2t^2 - (v t)^2 = 2v2 - v^2
de onde segue
tdvdt = 2v2 - v^2 - v = v^32 - v^2

Passo 3

Separamos variáveis:
2 - v^2v^3,dv = dtt

Passo 4

Integrando ambos os lados:
integral2 - v^2v^3,dv = integraldtt
que leva a
-v^-2 - ln|v| = ln|t| + C

Passo 5

Multiplicando por -1 e reorganizando temos
1v^2 + ln|v| + ln|t| = C'

Passo 6

Voltando a y: como v= yt e ln|v|+ln|t|=ln|y|, a relação implícita fica
t^2y^2 + ln|y| = C'

Passo 7

Aplicando a condição inicial t=1, y=-2:
1^2(-2)^2 + ln 2 = 14 + ln 2 = C'
Logo a solução implícita é:
t^2y^2 + ln|y| = 14 + ln 2

Resposta

t^2y^2 + ln|y| = 14 + ln 2

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