Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando completar o quadrado, esboçar o gráfico de
e, por fim, determinar a inversa de
, restringindo domínio/contradomínio se necessário. O conteúdo envolve funções quadráticas, técnica de completar o quadrado, análise de parábolas e definição de função inversa.
Passo 2
Começamos escrevendo
e fatorando o coeficiente 2 nos dois primeiros termos:
Passo 3
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Distribuindo o 2 e juntando constantes, obtemos
Passo 5
Para resolver
, igualamos
Passo 6
Isolando o quadrado:
Passo 7
Como o lado direito é negativo, não há solução real para
. Em outras palavras,
nunca zera.
Passo 8
O gráfico de
é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente
), vértice em
e valor mínimo
. Ela não intercepta o eixo
e intercepta o eixo
em
.
Passo 9
Para achar a inversa, note que
não é injetora em
, mas é monótona crescente em
. Restrinja o domínio a esse intervalo e o contradomínio a
.
Defina e resolva para
:
Defina
Passo 10
Passo 11
Escolhendo o sinal
para o ramo crescente,
Passo 12
Renomeando
por
na inversa, obtemos a função inversa em seu domínio:
Resposta
Não existem raízes reais para
, pois
. O gráfico de
é uma parábola com concavidade para cima e vértice em
, sem interceptação no eixo
. Restrigindo o domínio a
e o contradomínio a
, a inversa é
.