Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=2 x^2+6 x+7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 usando completar o quadrado, esboçar o gráfico de y=f(x) e, por fim, determinar a inversa de f, restringindo domínio/contradomínio se necessário. O conteúdo envolve funções quadráticas, técnica de completar o quadrado, análise de parábolas e definição de função inversa.

Passo 2

Começamos escrevendo f(x)=2x^2+6x+7 e fatorando o coeficiente 2 nos dois primeiros termos:
2x^2+6x+7 =2cdot(x^2+3x)+7

Passo 3

Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos (3/2)^2=9/4:
2cdot(x^2+3x+tfrac94-tfrac94)+7 =2cdot((x+tfrac32)^2-tfrac94)+7

Passo 4

Distribuindo o 2 e juntando constantes, obtemos
f(x)=2(x+tfrac32)^2-tfrac92+7=2(x+tfrac32)^2+tfrac52

Passo 5

Para resolver f(x)=0, igualamos
2(x+tfrac32)^2+tfrac52=0

Passo 6

Isolando o quadrado:
(x+tfrac32)^2=-tfrac52/2=-tfrac54

Passo 7

Como o lado direito é negativo, não há solução real para x. Em outras palavras, f(x) nunca zera.

Passo 8

O gráfico de y=f(x) é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente 2>0), vértice em x=-tfrac32 e valor mínimo f(-tfrac32)=tfrac52. Ela não intercepta o eixo x e intercepta o eixo y em f(0)=7.

Passo 9

Para achar a inversa, note que f não é injetora em R, mas é monótona crescente em [-tfrac32,infty). Restrinja o domínio a esse intervalo e o contradomínio a [tfrac52,infty).
Defina y=2(x+tfrac32)^2+tfrac52 e resolva para x:
(x+tfrac32)^2=tfracy-tfrac522=tfrac2y-54

Passo 10

x+tfrac32=pmtfracraiz2y-52

Passo 11

Escolhendo o sinal + para o ramo crescente,
x= -tfrac32+tfracraiz2y-52

Passo 12

Renomeando y por x na inversa, obtemos a função inversa em seu domínio:
f^-1(x)=-tfrac32+tfracraiz2x-52, x>=tfrac52

Resposta

Não existem raízes reais para f(x)=0, pois f(x)=2(x+tfrac32)^2+tfrac52>=tfrac52>0. O gráfico de y=f(x) é uma parábola com concavidade para cima e vértice em (-tfrac32,tfrac52), sem interceptação no eixo x. Restrigindo o domínio a [-tfrac32,infty) e o contradomínio a [tfrac52,infty), a inversa é f^-1(x)=-tfrac32+tfracraiz2x-52.

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