Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
Estamos resolvendo a equação
para
e esboçando o gráfico de
. O conteúdo envolve funções quadráticas, completar o quadrado para achar a forma canônica da parábola e depois calcular a inversa restringindo domínio e contradomínio.
Passo 2
Começamos completando o quadrado. Primeiro, fatoramos 5 em
:
Dentro dos parênteses adicionamos e subtraímos
pois
. Assim:
Isso leva a:
Passo 3
Para resolver
, igualamos a forma canônica a zero:
Isto dá as raízes
Passo 4
O vértice da parábola é
, o coeficiente de
é positivo (5), então a parábola abre para cima. O eixo de simetria é
. As raízes já foram encontradas e o intercepto em
é
. Com isso podemos esboçar o gráfico indicando vértice, interceptos e a parábola crescente para valores maiores de
.
Passo 5
Para obter a inversa, precisamos que
seja injetora. Como a parábola tem mínimo em
, restringimos o domínio a
, de modo que
seja estritamente crescente e injetora.
Passo 6
Partindo de
, isolamos
para
:
Assim, a inversa fica
Resposta
As raízes de
são x=\tfrac{5}{2}\pm\sqrt{\tfrac{77}{20}}. O vértice é (\tfrac{5}{2},-\tfrac{77}{4}) e a parábola abre para cima com intercepto em y em (0,12). Restrigindo o domínio a x\ge \tfrac{5}{2}, a inversa é
para y\ge -\tfrac{77}{4}.