Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=5 x^2-25 x+12

Passo 1

Estamos resolvendo a equação f(x)=0 para f(x)=5x^2-25x+12 e esboçando o gráfico de y=f(x). O conteúdo envolve funções quadráticas, completar o quadrado para achar a forma canônica da parábola e depois calcular a inversa restringindo domínio e contradomínio.

Passo 2

Começamos completando o quadrado. Primeiro, fatoramos 5 em f(x):
f(x)=5(x^2-5x)+12
Dentro dos parênteses adicionamos e subtraímos 254 pois l(tfrac52r)^2=tfrac254. Assim:
f(x)=5l(x^2-5x+tfrac254r)+12-5cdottfrac254
Isso leva a:
f(x)=5l(x-tfrac52r)^2-tfrac1254+tfrac484 =5l(x-tfrac52r)^2-tfrac774

Passo 3

Para resolver f(x)=0, igualamos a forma canônica a zero:
5l(x-tfrac52r)^2-tfrac774=0
5l(x-tfrac52r)^2=tfrac774
l(x-tfrac52r)^2=tfrac7720
Isto dá as raízes
x=tfrac52pmraiztfrac7720

Passo 4

O vértice da parábola é l(tfrac52,-tfrac774r), o coeficiente de x^2 é positivo (5), então a parábola abre para cima. O eixo de simetria é x=tfrac52. As raízes já foram encontradas e o intercepto em y é f(0)=12. Com isso podemos esboçar o gráfico indicando vértice, interceptos e a parábola crescente para valores maiores de |x-tfrac52|.

Passo 5

Para obter a inversa, precisamos que f seja injetora. Como a parábola tem mínimo em x=tfrac52, restringimos o domínio a x>=tfrac52, de modo que f seja estritamente crescente e injetora.

Passo 6

Partindo de y=5l(x-tfrac52r)^2-tfrac774, isolamos x para x>=tfrac52:
y+tfrac774=5l(x-tfrac52r)^2,
(x-tfrac52)^2=tfracy+tfrac7745=tfrac4y+7720,
x-tfrac52=+raiztfrac4y+7720,
x=tfrac52+raiztfrac4y+7720
Assim, a inversa fica
f^-1(y)=tfrac52+raiztfrac4y+7720, y>= -tfrac774

Resposta

As raízes de f(x)=0 são x=\tfrac{5}{2}\pm\sqrt{\tfrac{77}{20}}. O vértice é (\tfrac{5}{2},-\tfrac{77}{4}) e a parábola abre para cima com intercepto em y em (0,12). Restrigindo o domínio a x\ge \tfrac{5}{2}, a inversa é f^-1(y)=tfrac52+raiztfrac4y+7720 para y\ge -\tfrac{77}{4}.

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