Resolva os PVIs
(b)
(2 x+y) d x+(x+y+3) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
(2x + y),dx + (x + y + 3),dy = 0, y(0)=2
Este é um caso de equação diferencial de forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
M(x,y)=2x+y, N(x,y)=x+y+3,
partial Mpartial y=1, partial Npartial x=1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) satisfazendo phix = M = 2x + y. Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral (2x + y),dx = x^2 + x y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Usamos phiy = N = x + y + 3. Calculando phiy a partir de phi(x,y):
phiy = x + h'(y)
Igualando a N:
x + h'(y) = x + y + 3 Longrightarrow h'(y)=y+3 Longrightarrow h(y)=tfrac12y^2+3y

Passo 5

A solução geral implícita é
phi(x,y)=x^2 + x y + tfrac12y^2 +3y = C
Aplicando a condição inicial y(0)=2:
0^2 + 0cdot2 + tfrac12cdot2^2 + 3cdot2 = 0+0+2+6 = 8 Longrightarrow C=8

Resposta

x^2 + x y + tfrac12y^2 +3y = 8

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