Determine se cada sequência abaixo converge ou diverge.
a) 1raizn

Passo 1

O enunciado dá a sequência an definida por
an = 1raizn
Queremos determinar se essa sequência converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência e uso da definição de convergência.

Passo 2

À medida que n cresce, raizn cresce sem limite e, portanto, o inverso 1raizn tende a zero. Essa observação qualitativa sugere que a sequência converge para 0.

Passo 3

Calculamos o limite explicitamente:
limntoinfty1raizn = 0
Para um argumento rigoroso, seja varepsilon>0. Queremos achar N tal que, para todo n>N, valha
l|an - 0r| = 1raizn < varepsilon
Isso é equivalente a
raizn > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1varepsilon^2
Basta então escolher
N = llceil 1varepsilon^2rrceil
para garantir 1raizn<varepsilon sempre que n>N.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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