Sejam a, b, z in C, com z neq 0. Considerando os valores principais das potências envolvidas, mostre as igualdades abaixo:
z^a+b=z^a cdot z^b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado a,b,zinC com zneq 0 e usando os valores principais das potências, vale
z^a+b=z^acdot z^b
O conteúdo envolve a definição de potência complexa via logaritmo principal e a propriedade do exponencial.

Passo 2

Vamos usar a definição de logaritmo principal. Escrevemos
onde e . O logaritmo principal de é
cujo imaginário está em .

Passo 3

Definimos a potência complexa pelo exponencial: para todo ,
Em particular,

Passo 4

Usando a propriedade para todo , obtemos

Resposta

z^a+b=z^acdot z^b

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