5 Resolva os PVIs
d yd x=a(xy+yx), y(1)=-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=al(xy+yxr), y(1)=-4,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos usar a substituição
z=y^2
para transformar em uma equação linear em z, aplicar o método do fator integrante e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Defina
z=y^2
Então, pela regra da cadeia,
dzdx = 2,y,dydx
Substituindo dydx=al(tfracxy+tfracyxr), obtemos
dzdx =2,y;al(xy+yxr) =2al(x+y^2xr) =2al(x+zxr)

Passo 3

Reorganizando a equação em z, temos
dzdx - 2ax,z =2a,x
Isso é uma equação linear na forma
z' + P(x),z = Q(x),
com P(x)=-tfrac2ax e Q(x)=2a,x.

Passo 4

Calcule o fator integrante
mu(x) =expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -2ax,dxr) =x^-2a
Multiplicando a equação por mu(x), fica
l(x^-2azr)' =2a,x^1-2a

Passo 5

Integre em x:
x^-2az =integral 2a,x^1-2a,dx + C =2a2-2a,x^2-2a+C =a1-a,x^2-2a+C
Logo
z = y^2 = a1-a,x^2 + C,x^2a

Passo 6

Imponha a condição inicial y(1)=-4. Então z(1)=y(1)^2=16, logo
16 =a1-acdot1^2 + Ccdot1^2a =a1-a+C,
de onde
C = 16 - a1-a =16(1-a)-a1-a =16-17a1-a

Passo 7

Substituindo C em y^2, obtém-se
y^2 =a1-a,x^2 +16-17a1-a,x^2a
Como y(1)=-4<0, escolhemos o ramo negativo da raiz:

Resposta

boxed y(x)=-raiza1-a,x^2 +16-17a1-a,x^2a (,aneq1,)

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