5 Resolva os PVIs
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos usar a substituição
para transformar em uma equação linear em , aplicar o método do fator integrante e depois impor a condição inicial.
para transformar em uma equação linear em
Passo 2
Defina
Então, pela regra da cadeia,
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Reorganizando a equação em
, temos
Isso é uma equação linear na forma
com
e
.
Passo 4
Calcule o fator integrante
Multiplicando a equação por
, fica
Passo 5
Integre em
:
Logo
Passo 6
Imponha a condição inicial
. Então
, logo
de onde
Passo 7
Substituindo
em
, obtém-se
Como
, escolhemos o ramo negativo da raiz: