Questão 7. Sabemos que a evolução da cotação média das ações no mercado é dada pela função f(t)=(t-1)^4-(t-1)^3+29, a partir de t=0.
(a) Identifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(b) Os pontos de inflexão e a concavidade da evolução da cotação média das ações fornecem informações que auxiliam os investidores nas decisões de compra ou venta. Identifique, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de f.
(c) Qual é a tendência da cotação média no longo prazo?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t) = (t - 1)^4 - (t - 1)^3 + 29,
para t>=0, e pede (a) pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, (b) pontos de inflexão e concavidade, (c) tendência no longo prazo. Para isso vamos usar cálculo de primeira e segunda derivadas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia:
f'(t) = 4(t-1)^3 - 3(t-1)^2
Fatorando o polinômio obtemos
f'(t) = (t-1)^2l[4(t-1) - 3r] = (t-1)^2l(4t - 7r)
Os pontos críticos vêm de f'(t)=0, isto é
(t-1)^2=0implies t=1 e 4t-7=0implies t=tfrac74=1,75

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(t) em cada tramo de t:
  • Para 0<= t<1 temos t-1<0 e 4t-7<0, mas (t-1)^2>0, logo f'(t)<0.
  • Para 1<t<1,75 temos t-1>0 mas 4t-7<0, então f'(t)<0.
  • Para t>1,75 temos t-1>0 e 4t-7>0, então f'(t)>0.
Assim f é decrescente em [0,1,75) e crescente em (1,75,infty). Em t=1 há mudança de multiplicidade par sem troca de sinal (ponto de platô), e em t=1,75 decresce para cresce, sendo aí um mínimo local.

Passo 4

Para concavidade e inflexão, calculamos a segunda derivada:
f''(t) = ddtl[4(t-1)^3 -3(t-1)^2r] =12(t-1)^2 -6(t-1)
Fatorando:
f''(t) = 6(t-1)l[2(t-1) -1r] =6(t-1)l(2t -3r)
Os pontos de inflexão satisfazem f''(t)=0, ou seja
t-1=0implies t=1 e 2t-3=0implies t=tfrac32=1,5

Passo 5

Estudo do sinal de f''(t):
  • Para 0<= t<1 temos t-1<0 e 2t-3<0, logo f''(t)>0 (concavidade para cima).
  • Para 1<t<1,5 temos t-1>0 e 2t-3<0, logo f''(t)<0 (concavidade para baixo).
  • Para t>1,5 temos t-1>0 e 2t-3>0, logo f''(t)>0 (concavidade para cima).

Passo 6

Analisando o comportamento quando ttoinfty, o termo dominante em
f(t)=(t-1)^4 - (t-1)^3 + 29 é (t-1)^4, que cresce sem limite. Portanto,
limttoinfty f(t) = +infty,
isto é, a cotação média tende a subir indefinidamente.

Resposta

(a) Pontos críticos: t=1 (platô) e t=1,75 (mínimo local).
Crescente em (1,75,infty), decrescente em [0,1,75).
(b) Pontos de inflexão em t=1 e t=1,5. Concavidade para cima em [0,1) e em (1,5,infty), para baixo em (1,1,5).
(c) A cotação cresce sem limite ( limttoinftyf(t)=+infty), tendência de alta no longo prazo.

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