Questão 7. Sabemos que a evolução da cotação média das ações no mercado é dada pela função
, a partir de
.
(a) Identifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(b) Os pontos de inflexão e a concavidade da evolução da cotação média das ações fornecem informações que auxiliam os investidores nas decisões de compra ou venta. Identifique, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de
.
(c) Qual é a tendência da cotação média no longo prazo?
(a) Identifique os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento de
(b) Os pontos de inflexão e a concavidade da evolução da cotação média das ações fornecem informações que auxiliam os investidores nas decisões de compra ou venta. Identifique, se houver, pontos de inflexão e estude a concavidade de
(c) Qual é a tendência da cotação média no longo prazo?
Passo 1
O enunciado dá a função
para
, e pede (a) pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento, (b) pontos de inflexão e concavidade, (c) tendência no longo prazo. Para isso vamos usar cálculo de primeira e segunda derivadas.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia:
Fatorando o polinômio obtemos
Os pontos críticos vêm de
, isto é
Passo 3
Estudamos o sinal de
em cada tramo de
:
- Para
temos e , mas , logo . - Para
temos mas , então . - Para
temos e , então .
Assim
é decrescente em
e crescente em
. Em
há mudança de multiplicidade par sem troca de sinal (ponto de platô), e em
decresce para cresce, sendo aí um mínimo local.
Passo 4
Para concavidade e inflexão, calculamos a segunda derivada:
Fatorando:
Os pontos de inflexão satisfazem
, ou seja
Passo 5
Estudo do sinal de
:
- Para
temos e , logo (concavidade para cima). - Para
temos e , logo (concavidade para baixo). - Para
temos e , logo (concavidade para cima).
Passo 6
Analisando o comportamento quando
, o termo dominante em
é
, que cresce sem limite. Portanto,
isto é, a cotação média tende a subir indefinidamente.
Resposta
(a) Pontos críticos:
(platô) e
(mínimo local).
Crescente em , decrescente em
.
Crescente em
(b) Pontos de inflexão em
e
. Concavidade para cima em
e em
, para baixo em
.
(c) A cotação cresce sem limite (
), tendência de alta no longo prazo.