Resolva os PVIs:
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right), \quad y(1)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}, \quad y(1)=4.
O conteúdo aqui é resolução de EDO de primeira ordem não linear que fica linear ao fazermos a substituição z=y^2.

Passo 2

Definimos z=y^2. Então
\frac{dz}{dx} = 2y\,\frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}, temos
\frac{dz}{dx} =2y\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr) =2x+\frac{2y^2}{x} =2x+\frac{2z}{x}.
Logo a equação para z é
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}\,z = 2x,
que é uma EDO linear em z.

Passo 3

Para resolver
\frac{dz}{dx} - \frac{2}{x}z = 2x,
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(-\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-2\ln x) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por x^{-2} obtemos
x^{-2}\frac{dz}{dx} - 2x^{-3}z = 2x^{-1},
isto é
\frac{d}{dx}\bigl(z\,x^{-2}\bigr) = 2\,x^{-1}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
z\,x^{-2} = \int 2\,x^{-1}dx = 2\ln x + C.
Multiplicando por x^2
z = y^2 = x^2\bigl(2\ln x + C\bigr).

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(1)=4 temos
y(1)^2 = 16 = 1^2\bigl(2\ln1 + C\bigr) \;\Longrightarrow\; C=16.
Portanto
y^2 = x^2\bigl(2\ln x +16\bigr)
e, como y(1)>0, escolhemos o sinal positivo:
y(x) = x\sqrt{2\ln x + 16}.

Resposta

y(x) = x\sqrt{2\ln x + 16}.

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