1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão ( 30 pontos):
Resolva o problema de valor inicial:
y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - y = 2t\,e^{2t},\qquad y(0)=1.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos a forma padrão y' + p(t)\,y = g(t). Aqui temos p(t)=-1. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int -1\,dt} = e^{-t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2t\,e^{2t}\,e^{-t} = 2t\,e^{t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,e^{-t}, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr) = 2t\,e^{t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{-t} = \int 2t\,e^{t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=2t e dv=e^{t}dt, obtemos
\int 2t\,e^{t}dt = 2t\,e^{t} - \int 2\,e^{t}dt = 2t\,e^{t} - 2\,e^{t} + C = e^{t}(2t-2) + C.
Logo
y\,e^{-t} = e^{t}(2t-2) + C.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^{t}:
y = e^{2t}(2t-2) + C\,e^{t}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = e^{0}(0-2) + C\,e^{0} = -2 + C = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(t) = e^{2t}(2t-2) + 3\,e^{t} = 2t\,e^{2t} - 2\,e^{2t} + 3\,e^{t}.

Exercícios relacionados