3^{\text {a }} Questão (30 pontos):
Encontre a solução da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
\left(2 x y-e^{-2 y}\right) y^{\prime}=-y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,y' = -y.
O conteúdo aqui é reconhecer que não é imediatamente separável em x e y, mas podemos inverter a derivada e tratar x como função de y, obtendo uma equação linear em x(y).

Passo 2

Escrevendo y' = \frac{dy}{dx} e invertendo, temos
\frac{dx}{dy} = \frac{2xy - e^{-2y}}{-y} = -2x \;+\;\frac{e^{-2y}}{y}.
Assim chegamos à equação linear em x:
\frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}.

Passo 3

Para resolver \frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}, calculamos o fator integrante
\mu(y) = e^{\int 2\,dy} = e^{2y}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(y), obtemos
e^{2y}\,\frac{dx}{dy} + 2e^{2y}x = \frac{1}{y},
que é
\frac{d}{dy}\bigl(x\,e^{2y}\bigr) = \frac{1}{y}.
Integrando ambos os lados em relação a y:
x\,e^{2y} = \int \frac{1}{y}\,dy = \ln\!\bigl|y\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral pode ser escrita de forma implícita como
x\,e^{2y} - \ln\!\bigl|y\bigr| = C
ou explicitamente
x = e^{-2y}\,\bigl(\ln\!\bigl|y\bigr| + C\bigr).

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