Classificar as seguintes EDO’s (ordem e linearidade).
t^{2} \frac{d^{4} y}{d t^{4}}-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\sin (t+y)=\sin t

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
t^{2}\frac{d^{4}y}{dt^{4}}-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\sin(t+y)=\sin t
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações dadas:
  • Aparecem as derivadas \dfrac{d^{4}y}{dt^{4}} e \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
  • Há termos que envolvem \sin(t+y) e \sin t.
  • A variável independente é t e a desconhecida é y(t).

Passo 2

O que é a ordem de uma EDO e como identificar?
  • A ordem de uma EDO é o maior número de vezes que a função incógnita y é derivada na equação.
  • Para determinar a ordem, basta procurar qual é a derivada de maior ordem que aparece explicitamente na equação.
    Exemplos rápidos (para fixar):
  • \dfrac{d^2 y}{dt^2}+y=0 tem ordem 2.
  • \dfrac{d^3 y}{dt^3}+t\,\dfrac{dy}{dt}=0 tem ordem 3.

Passo 3

Aplicando isso à equação dada: o termo de maior ordem é \dfrac{d^{4}y}{dt^{4}}. Mesmo estando multiplicado por t^{2}, isso não altera a ordem — é ainda uma derivada de quarta ordem. Logo a ordem da EDO é 4.

Passo 4

O que significa uma EDO ser linear? Critério prático.
  • Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(t)\frac{d^n y}{dt^n}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\frac{dy}{dt}+a_0(t)y = g(t),
onde os coeficientes a_i(t) e o termo independente g(t) são funções apenas da variável independente t, isto é, não dependem de y.
  • Em outras palavras: em uma equação linear, y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de t e somadas). Não podem surgir termos como y^2, \sin y, \cos y, produtos entre y e suas derivadas, nem funções não lineares de y.
    Exemplos para contrastar:
  • Linear: \dfrac{d^2 y}{dt^2}+p(t)\dfrac{dy}{dt}+q(t)y = g(t).
  • Não linear: \dfrac{d^2 y}{dt^2}+y^2=0 ou \dfrac{d y}{dt}+\sin y=0.

Passo 5

Analisando os termos da equação dada quanto à linearidade:
  • Os termos t^{2}\dfrac{d^{4}y}{dt^{4}} e -\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} são lineares em y (cada derivada aparece multiplicada apenas por uma função de t).
  • Porém, o termo \sin(t+y) depende de y dentro de uma função trigonométrica. Usando a identidade trigonométrica
\sin(t+y)=\sin t\cos y+\cos t\sin y,
fica claro que aparecem \cos y e \sin y, que são funções não lineares de y. Isso impede escrever a equação na forma linear indicada acima, porque não é possível representar \sin(t+y) como a_0(t)y nem como função de t isolada.
  • O lado direito \sin t é função apenas de t e seria permitido numa equação linear, mas o termo \sin(t+y) torna a equação não linear.

Passo 6

Resumo do raciocínio (sem repetir a resposta final literal): a maior derivada presente é a quarta ordem e existe um termo que contém y de maneira não linear (como argumento de \sin), portanto a equação não atende ao formato de uma EDO linear de ordem n.

Resposta

Ordem: 4
Linearidade: não linear

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