Classificar as seguintes EDO’s (ordem e linearidade).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Aparecem as derivadas
e . - Há termos que envolvem
e . - A variável independente é
e a desconhecida é .
Passo 2
O que é a ordem de uma EDO e como identificar?
- A ordem de uma EDO é o maior número de vezes que a função incógnita
é derivada na equação. - Para determinar a ordem, basta procurar qual é a derivada de maior ordem que aparece explicitamente na equação.
Exemplos rápidos (para fixar): -
tem ordem . -
tem ordem .
Passo 3
Aplicando isso à equação dada: o termo de maior ordem é
. Mesmo estando multiplicado por
, isso não altera a ordem — é ainda uma derivada de quarta ordem. Logo a ordem da EDO é
.
Passo 4
O que significa uma EDO ser linear? Critério prático.
- Uma EDO de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
são funções apenas da variável independente
, isto é, não dependem de
.
- Em outras palavras: em uma equação linear,
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (multiplicadas por funções de e somadas). Não podem surgir termos como , , , produtos entre e suas derivadas, nem funções não lineares de .
Exemplos para contrastar: - Linear:
. - Não linear:
ou .
Passo 5
Analisando os termos da equação dada quanto à linearidade:
- Os termos
e são lineares em (cada derivada aparece multiplicada apenas por uma função de ). - Porém, o termo
depende de dentro de uma função trigonométrica. Usando a identidade trigonométrica
fica claro que aparecem
e
, que são funções não lineares de
. Isso impede escrever a equação na forma linear indicada acima, porque não é possível representar
como
nem como função de
isolada.
- O lado direito
é função apenas de e seria permitido numa equação linear, mas o termo torna a equação não linear.
Passo 6
Resumo do raciocínio (sem repetir a resposta final literal): a maior derivada presente é a quarta ordem e existe um termo que contém
de maneira não linear (como argumento de
), portanto a equação não atende ao formato de uma EDO linear de ordem
.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear