Resolva os PVI’s
b) \left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=\delta(t-\pi)-\delta(t-2 \pi) ; \\ y(0)=0, \\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y'=\delta(t-\pi)-\delta(t-2\pi), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O conteúdo é a resolução de uma equação linear LTI forçada por deltas de Dirac, e vamos usar a transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que y(0)=0 e y'(0)=0, temos
\mathcal L\{y''\} = s^2Y(s), \quad \mathcal L\{4y'\} = 4s\,Y(s),
e
\mathcal L\{\delta(t-\pi)-\delta(t-2\pi)\} = e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}.
Logo a equação em s é
(s^2+4s)\,Y(s)=e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}.

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
Y(s) =\frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s(s+4)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em
\frac{1}{s(s+4)} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4}\Bigr),
vemos que a resposta ao impulso (sem deslocamento) é
h(t)=\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s(s+4)}\Bigr\} =\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4t}\bigr)\,u(t).

Passo 5

Pela propriedade de deslocamento no tempo
\mathcal L^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)\,u(t-a),
cada termo de Y(s) gera
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-\pi s}}{s(s+4)}\Bigr\} =\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4(t-\pi)}\bigr)u(t-\pi),
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-2\pi s}}{s(s+4)}\Bigr\} =\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4(t-2\pi)}\bigr)u(t-2\pi).

Resposta

y(t) =\frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4(t-\pi)}\bigr)u(t-\pi) \;-\; \frac{1}{4}\bigl(1-e^{-4(t-2\pi)}\bigr)u(t-2\pi).

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