Resolva os PVI’s
a) \left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi) ; \\ y(0)=1, \\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array} \quad\right.

Passo 1

O problema é o PVI
y''+2y'+2y=\delta(t-\pi),\quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem forçada por um impulso em t=\pi. Vamos usar transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal L\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal L\{y'\}=s\,Y(s)-y(0),\quad \mathcal L\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s},
têm-se
(s^{2}Y - s\cdot1 - 0)+2\,(sY-1)+2Y = e^{-\pi s}.
Ou seja,
(s^{2}+2s+2)\,Y(s)-(s+2)=e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s+2}{s^{2}+2s+2} \;+\;\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+2s+2}.

Passo 3

Para inverter a transformada, separamos
\frac{s+2}{s^{2}+2s+2} =\frac{(s+1)+1}{(s+1)^{2}+1} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1} \;+\;\frac{1}{(s+1)^{2}+1}.

Passo 4

Usando fórmulas-padrão de Laplace inversa,
\mathcal L^{-1}\Big\{\tfrac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\Big\}(t) =e^{-t}\cos t, \quad \mathcal L^{-1}\Big\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}+1}\Big\}(t) =e^{-t}\sin t.
Logo a parte homogênea dá
y_{h}(t)=e^{-t}\cos t + e^{-t}\sin t =e^{-t}(\cos t + \sin t).

Passo 5

O termo com e^{-\pi s} gera deslocamento no tempo:
\mathcal L^{-1}\Big\{e^{-\pi s}\,\tfrac{1}{(s+1)^{2}+1}\Big\}(t) =H(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi),
onde H é a função de Heaviside.

Resposta

y(t) =e^{-t}(\cos t + \sin t) +H(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).

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