Calcule \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2 k}{x}\right)^{3 x} de duas maneiras:
(1,0) Usando o limite \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{2k}{x}\Bigr)^{3x}
usando como ponto de partida o limite conhecido
\lim_{t\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t}=e.
O conteúdo é a passagem para a forma exponencial e o uso de limites padrão do tipo (1+1/t)^t.

Passo 2

Primeiro método: queremos encaixar \bigl(1+2k/x\bigr)^{3x} numa potência com base (1+1/t)^t. Note que, se definirmos
t=\frac{x}{2k},
então t\to\infty quando x\to\infty (supondo k\neq0). Observe que
1+\frac{2k}{x}=1+\frac{1}{t},
e que
3x=3\cdot(2k\,t)=6k\,t.
Logo,
\Bigl(1+\frac{2k}{x}\Bigr)^{3x} =\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{6k\,t} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t}\Bigr]^{6k}.
Como \lim_{t\to\infty}(1+1/t)^{t}=e, tem-se
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{2k}{x}\Bigr)^{3x} =\bigl(e\bigr)^{6k} =e^{6k}.

Passo 3

Segundo método: empregando logaritmo e expansão de primeira ordem. Seja
y=\Bigl(1+\frac{2k}{x}\Bigr)^{3x}.
Então
\ln y=3x\;\ln\!\Bigl(1+\frac{2k}{x}\Bigr).
Como para u\to0 vale \ln(1+u)=u+o(u), aqui u=2k/x\to0, temos
\ln y =3x\Bigl(\frac{2k}{x}+o\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr) =6k+o(1).
Fazendo x\to\infty \ln y\to6k, logo y\to e^{6k}.

Resposta

e^{6k}

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