Resolva os PVI’s pelo método de Bernoulli:
y^{-1 / 2} y^{\prime}+y^{1 / 2}=1 ; y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^{-1/2}\,y' + y^{1/2} = 1, \quad y(0)=2
e pede para resolver pelo método de Bernoulli. O conteúdo é a equação diferencial de Bernoulli, cujo formato geral é
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n,
e vamos usar a substituição padrão u=y^{1-n} para transformá-la em uma equação linear em u.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato de Bernoulli. Multiplicando ambos os lados por y^{1/2}, obtemos
y' + y = y^{1/2}.
Assim, identificamos
P(x)=1,\quad Q(x)=1,\quad n=\tfrac12,
porque a equação está em
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n.

Passo 3

Aplicamos a substituição de Bernoulli
u = y^{1-n} = y^{1 - \tfrac12} = y^{1/2}.
Derivando,
u' = \tfrac12\,y^{-1/2}\,y' \quad\Longrightarrow\quad y' = 2\,y^{1/2}\,u' = 2\,u\,u'.
Substituindo y' = 2u\,u', y = u^2 e y^{1/2}=u na equação original y' + y = y^{1/2}, vem
2u\,u' + u^2 = u.
Dividindo por 2u (assumindo u\neq0), temos a equação linear em u:
u' + \tfrac12\,u = \tfrac12.

Passo 4

Para resolver
u' + \tfrac12\,u = \tfrac12,
calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int \tfrac12\,dx} = e^{x/2}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x):
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x/2}\bigr) = \tfrac12\,e^{x/2}.
Integrando em x:
u\,e^{x/2} = \int \tfrac12\,e^{x/2}\,dx = e^{x/2} + C \quad\Longrightarrow\quad u = 1 + C\,e^{-x/2}.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos
\sqrt{y} = u = 1 + C\,e^{-x/2} \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(1 + C\,e^{-x/2}\bigr)^2.
Para determinar C, usamos y(0)=2:
\sqrt{2} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \sqrt{2} - 1.
Logo, a solução do PVI é
y(x) = \bigl(1 + (\sqrt{2}-1)\,e^{-x/2}\bigr)^2.

Resposta

y(x) = \bigl(1 + (\sqrt{2}-1)\,e^{-x/2}\bigr)^2.

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