Resolva o PVI:
(b) lx^2 y^prime=ln x-2 x y y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI x^2y'=ln x-2xy com y(1)=2. Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos usar o fator integrante para solucioná-la.

Passo 2

Dividimos tudo por x^2 (pressuposto x>0) para deixar na forma padrão y'+P(x)y=Q(x): y’ + \frac{2}{x}y = \frac{\ln x}{x^2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral2/x,dx=e^2ln x=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2. O lado esquerdo se torna a derivada do produto x^2y:
l(x^2yr)' = ln x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
x^2y = integral ln x,dx = xln x - x + C

Passo 6

Isolamos y: y=xln x - x + Cx^2=ln xx - 1x + Cx^2

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = ln11 - 11 + C = 0 -1 + C implies C=3

Resposta

y(x)=ln xx-1x+3x^2

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